与えられた4つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{-1}^{1} 5e^x dx$ (2) $\int_{1}^{2} (3 + \frac{2}{x})^2 dx = \int_{1}^{2} (9 + 12x^{-1} + 4x^{-2}) dx$ (3) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x dx$ (4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{2}{\cos^2 x} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{-1}^{1} 5e^x dx$

(2) $\int_{1}^{2} (3 + \frac{2}{x})^2 dx = \int_{1}^{2} (9 + 12x^{-1} + 4x^{-2}) dx$

(3) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x dx$

(4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{2}{\cos^2 x} dx$

2. 解き方の手順

(1) 指数関数の積分

$5e^x$ の積分は $5e^x$ です。積分範囲は $-1$ から $1$ なので、

$\int_{-1}^{1} 5e^x dx = [5e^x]_{-1}^{1} = 5e^1 - 5e^{-1} = 5e - \frac{5}{e}$

(2) 多項式の積分

$\int_{1}^{2} (9 + 12x^{-1} + 4x^{-2}) dx = [9x + 12\ln|x| - 4x^{-1}]_{1}^{2} = [9x + 12\ln|x| - \frac{4}{x}]_{1}^{2}$

$= (9(2) + 12\ln|2| - \frac{4}{2}) - (9(1) + 12\ln|1| - \frac{4}{1}) = (18 + 12\ln 2 - 2) - (9 + 0 - 4) = 16 + 12\ln 2 - 5 = 11 + 12\ln 2$

(3) 三角関数の積分

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(\frac{\pi}{2})) = -(-1) - (-0) = 1 - 0 = 1$

(4) 三角関数の積分

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{2}{\cos^2 x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 2\sec^2 x dx = [2\tan x]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = 2\tan(\frac{\pi}{6}) - 2\tan(0) = 2(\frac{1}{\sqrt{3}}) - 2(0) = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $5e - \frac{5}{e}$

(2) $11 + 12\ln 2$

(3) $1$

(4) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$