与えられた複数の関数について、以下の問題を解く必要があります。 - 385: 導関数の定義に従って導関数を求める。 - 386, 387, 388: 関数を微分する。 - 389: 関数 $f(x) = x^3 - 4x + 3$ における、指定された $x$ の値での微分係数を求める。

1. 問題の内容

与えられた複数の関数について、以下の問題を解く必要があります。

- 385: 導関数の定義に従って導関数を求める。

- 386, 387, 388: 関数を微分する。

- 389: 関数 $f(x) = x^3 - 4x + 3$ における、指定された $x$ の値での微分係数を求める。

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

*385 (3) f(x) = x^3 - x*

導関数の定義:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f(x+h) = (x+h)^3 - (x+h) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x - h$

$f(x+h) - f(x) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x - h - (x^3 - x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - h$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 - 1$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 - 1) = 3x^2 - 1$

*386 (1) y = 2x^2*

$y' = 2 * 2x = 4x$

*(2) y = (3/4)x^4*

$y' = (3/4) * 4x^3 = 3x^3$

*(4) y = -2*

$y' = 0$

*387 (1) y = x^2 - 2x + 2*

$y' = 2x - 2$

*(3) y = x^3 - 5x^2 - 6*

$y' = 3x^2 - 10x$

*(6) y = -(1/2)x^4 + (5/3)x^3 + (3/4)x^2 + x*

$y' = -(1/2)*4x^3 + (5/3)*3x^2 + (3/4)*2x + 1 = -2x^3 + 5x^2 + (3/2)x + 1$

*388 (3) y = (2x - 3)^3*

$y' = 3(2x - 3)^2 * 2 = 6(2x - 3)^2$

*(5) y = (2x^2 + 1)(x^2 + 3)*

$y' = (4x)(x^2 + 3) + (2x^2 + 1)(2x) = 4x^3 + 12x + 4x^3 + 2x = 8x^3 + 14x$

*389 (1) x = -2*

$f(x) = x^3 - 4x + 3$

$f'(x) = 3x^2 - 4$

$f'(-2) = 3(-2)^2 - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8$

*(3) x = 0*

$f'(0) = 3(0)^2 - 4 = -4$

3. 最終的な答え

*385 (3): $f'(x) = 3x^2 - 1$*

*386 (1): $y' = 4x$*

*(2): $y' = 3x^3$*

*(4): $y' = 0$*

*387 (1): $y' = 2x - 2$*

*(3): $y' = 3x^2 - 10x$*

*(6): $y' = -2x^3 + 5x^2 + (3/2)x + 1$*

*388 (3): $y' = 6(2x - 3)^2$*

*(5): $y' = 8x^3 + 14x$*

*389 (1): $f'(-2) = 8$*

*(3): $f'(0) = -4$*