与えられた関数について、導関数の定義にしたがって導関数を求める問題です。関数は以下の4つです。 (1) $f(x) = -3x + 4$ (2) $f(x) = x^2 + 2x + 1$ (3) $f(x) = x^3 - x$ (4) $f(x) = 3$

1. 問題の内容

与えられた関数について、導関数の定義にしたがって導関数を求める問題です。関数は以下の4つです。

(1) $f(x) = -3x + 4$

(2) $f(x) = x^2 + 2x + 1$

(3) $f(x) = x^3 - x$

(4) $f(x) = 3$

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

(1) $f(x) = -3x + 4$ の場合：

$f(x+h) = -3(x+h) + 4 = -3x - 3h + 4$

$f(x+h) - f(x) = (-3x - 3h + 4) - (-3x + 4) = -3h$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{-3h}{h} = -3$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} -3 = -3$

(2) $f(x) = x^2 + 2x + 1$ の場合：

$f(x+h) = (x+h)^2 + 2(x+h) + 1 = x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h + 1$

$f(x+h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h + 1) - (x^2 + 2x + 1) = 2xh + h^2 + 2h$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{2xh + h^2 + 2h}{h} = 2x + h + 2$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h + 2) = 2x + 2$

(3) $f(x) = x^3 - x$ の場合：

$f(x+h) = (x+h)^3 - (x+h) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x - h$

$f(x+h) - f(x) = (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x - h) - (x^3 - x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - h$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 - h}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 - 1$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 - 1) = 3x^2 - 1$

(4) $f(x) = 3$ の場合：

$f(x+h) = 3$

$f(x+h) - f(x) = 3 - 3 = 0$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{0}{h} = 0$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} 0 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = -3$

(2) $f'(x) = 2x + 2$

(3) $f'(x) = 3x^2 - 1$

(4) $f'(x) = 0$