はい、承知いたしました。画像に写っている問題を解きます。

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1. 問題の内容**

次の関数を微分せよ。

(1) $y = \log(\tan x) + \frac{e^{2x}}{x}$

(2) $y = \log \frac{\sqrt{1+e^x} - 1}{\sqrt{1+e^x} + 1}$

(3) $f(x) = x\sqrt{x^2+1} + \log(x+\sqrt{x^2+1})$

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2. 解き方の手順**

**(1) $y = \log(\tan x) + \frac{e^{2x}}{x}$**

* **第一項の微分:** $\log(\tan x)$ の微分は、合成関数の微分法を用いる。

* $\frac{d}{dx} \log(\tan x) = \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{d}{dx} (\tan x) = \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$

* **第二項の微分:** $\frac{e^{2x}}{x}$ の微分は、商の微分法を用いる。

* $\frac{d}{dx} \left( \frac{e^{2x}}{x} \right) = \frac{x \frac{d}{dx} e^{2x} - e^{2x} \frac{d}{dx} x}{x^2} = \frac{x(2e^{2x}) - e^{2x}(1)}{x^2} = \frac{2xe^{2x} - e^{2x}}{x^2} = \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}$

* **全体の微分:**

$y' = \frac{d}{dx} \left( \log(\tan x) + \frac{e^{2x}}{x} \right) = \frac{2}{\sin 2x} + \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}$

**(2) $y = \log \frac{\sqrt{1+e^x} - 1}{\sqrt{1+e^x} + 1}$**

* **簡略化:** 対数の性質を用いて、関数を簡略化する。

$y = \log(\sqrt{1+e^x} - 1) - \log(\sqrt{1+e^x} + 1)$

* **微分:** 合成関数の微分法を用いる。

* $\frac{d}{dx} \log(\sqrt{1+e^x} - 1) = \frac{1}{\sqrt{1+e^x} - 1} \cdot \frac{d}{dx} (\sqrt{1+e^x} - 1) = \frac{1}{\sqrt{1+e^x} - 1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+e^x}} \cdot e^x = \frac{e^x}{2(\sqrt{1+e^x} - 1)\sqrt{1+e^x}}$

* $\frac{d}{dx} \log(\sqrt{1+e^x} + 1) = \frac{1}{\sqrt{1+e^x} + 1} \cdot \frac{d}{dx} (\sqrt{1+e^x} + 1) = \frac{1}{\sqrt{1+e^x} + 1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+e^x}} \cdot e^x = \frac{e^x}{2(\sqrt{1+e^x} + 1)\sqrt{1+e^x}}$

* **全体の微分:**

$y' = \frac{e^x}{2(\sqrt{1+e^x} - 1)\sqrt{1+e^x}} - \frac{e^x}{2(\sqrt{1+e^x} + 1)\sqrt{1+e^x}}$

$y' = \frac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}} \left( \frac{1}{\sqrt{1+e^x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{1+e^x} + 1} \right)$

$y' = \frac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}} \left( \frac{(\sqrt{1+e^x} + 1) - (\sqrt{1+e^x} - 1)}{(\sqrt{1+e^x} - 1)(\sqrt{1+e^x} + 1)} \right)$

$y' = \frac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}} \left( \frac{2}{1+e^x - 1} \right) = \frac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}} \cdot \frac{2}{e^x} = \frac{1}{\sqrt{1+e^x}}$

**(3) $f(x) = x\sqrt{x^2+1} + \log(x+\sqrt{x^2+1})$**

* **第一項の微分:** $x\sqrt{x^2+1}$ の微分は、積の微分法と合成関数の微分法を用いる。

* $\frac{d}{dx} (x\sqrt{x^2+1}) = (1)\sqrt{x^2+1} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \sqrt{x^2+1} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{x^2+1 + x^2}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}$

* **第二項の微分:** $\log(x+\sqrt{x^2+1})$ の微分は、合成関数の微分法を用いる。

* $\frac{d}{dx} \log(x+\sqrt{x^2+1}) = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \frac{d}{dx} (x+\sqrt{x^2+1}) = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left(1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x\right) = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right) = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

* **全体の微分:**

$f'(x) = \frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{2x^2+1+1}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{2x^2+2}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{2(x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}} = 2\sqrt{x^2+1}$

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3. 最終的な答え**

(1) $y' = \frac{2}{\sin 2x} + \frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}$

(2) $y' = \frac{1}{\sqrt{1+e^x}}$

(3) $f'(x) = 2\sqrt{x^2+1}$