関数 $f(x, y) = (x^2 + y^2)e^{x-y}$ の極値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = (x^2 + y^2)e^{x-y}$ の極値を求める。

2. 解き方の手順

まず、偏導関数を計算する。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2xe^{x-y} + (x^2+y^2)e^{x-y} = (x^2 + y^2 + 2x)e^{x-y}$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2ye^{x-y} + (x^2+y^2)e^{x-y}(-1) = (2y - x^2 - y^2)e^{x-y} = -(x^2 + y^2 - 2y)e^{x-y}$

極値を持つためには、以下の連立方程式を満たす必要がある。

$f_x = 0$

$f_y = 0$

$e^{x-y}$ は常に正であるから、

$x^2 + y^2 + 2x = 0$

$x^2 + y^2 - 2y = 0$

これらの式を解く。

$x^2 + y^2 + 2x = x^2 + y^2 - 2y$

$2x = -2y$

$x = -y$

これを $x^2 + y^2 + 2x = 0$ に代入すると、

$(-y)^2 + y^2 + 2(-y) = 0$

$2y^2 - 2y = 0$

$2y(y - 1) = 0$

$y = 0$ or $y = 1$

$y = 0$ のとき、$x = 0$

$y = 1$ のとき、$x = -1$

したがって、停留点は $(0, 0)$ と $(-1, 1)$ である。

次に、ヘッセ行列を計算する。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = (2x + 2 + 2x)e^{x-y} + (x^2 + y^2 + 2x)e^{x-y} = (x^2 + y^2 + 4x + 2)e^{x-y}$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = (-2y + 2 + 2y)e^{x-y} + (2y - x^2 - y^2)e^{x-y}(-1) = (x^2 + y^2 - 4y + 2)e^{x-y}$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = (2y)e^{x-y} + (2y - x^2 - y^2)e^{x-y} = (-2y)e^{x-y} + (x^2 + y^2 + 2x)e^{x-y}(-1) + (2y -x^2 -y^2)e^{x-y} = (2x - 2y)e^{x-y} - (x^2 + y^2 + 2x)e^{x-y} = (x^2 + y^2 + 2x)e^{x-y}(-1)$

$f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = (2x - 2y)e^{x-y}$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = (2x-2y)e^{x-y}$

$f_{xy} = (2-2)e^{x-y} - (x^2 + y^2 + 2x)e^{x-y} = - (x^2 + y^2 - 2y)e^{x-y}$

したがって、$f_{xy} = (2x - 2y)e^{x-y}$

ヘッセ行列式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$

点 $(0, 0)$ において

$f_{xx} = 2$

$f_{yy} = 2$

$f_{xy} = 0$

$D = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0$

$f_{xx} = 2 > 0$ なので、$(0, 0)$ で極小値 $f(0, 0) = 0$ をとる。

点 $(-1, 1)$ において

$f_{xx} = (1 + 1 - 4 + 2)e^{-2} = 0$

$f_{yy} = (1 + 1 - 4 + 2)e^{-2} = 0$

$f_{xy} = (-2 - 2)e^{-2} = -4e^{-2}$

$D = 0 \cdot 0 - (-4e^{-2})^2 = -16e^{-4} < 0$

なので、$(0, 0)$ は鞍点。

3. 最終的な答え

$(0, 0)$ で極小値 0 をとる。

$(-1, 1)$ は鞍点。