次の5つの関数を $x$ で微分しなさい。 (1) $y = (5x - 7)^3$ (2) $y = (2x^4+5)(3x^5-8)$ (3) $y = \frac{x^2}{x+4}$ (4) $y = x^2(x-4)^3$ (5) $y = \frac{(x-5)^3}{x+5}$

はい、承知いたしました。与えられた問題を解き、指定された形式で回答します。

1. 問題の内容

次の5つの関数を $x$ で微分しなさい。

(1) $y = (5x - 7)^3$

(2) $y = (2x^4+5)(3x^5-8)$

(3) $y = \frac{x^2}{x+4}$

(4) $y = x^2(x-4)^3$

(5) $y = \frac{(x-5)^3}{x+5}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (5x - 7)^3$

合成関数の微分を行います。$u = 5x - 7$ とおくと、$y = u^3$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = 5$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3(5x - 7)^2 \cdot 5 = 15(5x - 7)^2$

(2) $y = (2x^4+5)(3x^5-8)$

積の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = (2x^4+5)'(3x^5-8) + (2x^4+5)(3x^5-8)'$

$\frac{dy}{dx} = (8x^3)(3x^5-8) + (2x^4+5)(15x^4)$

$\frac{dy}{dx} = 24x^8 - 64x^3 + 30x^8 + 75x^4 = 54x^8 + 75x^4 - 64x^3$

(3) $y = \frac{x^2}{x+4}$

商の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2)'(x+4) - x^2(x+4)'}{(x+4)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x(x+4) - x^2(1)}{(x+4)^2} = \frac{2x^2 + 8x - x^2}{(x+4)^2} = \frac{x^2 + 8x}{(x+4)^2}$

(4) $y = x^2(x-4)^3$

積の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = (x^2)'(x-4)^3 + x^2((x-4)^3)'$

$\frac{dy}{dx} = 2x(x-4)^3 + x^2(3(x-4)^2)$

$\frac{dy}{dx} = 2x(x-4)^3 + 3x^2(x-4)^2 = x(x-4)^2 [2(x-4) + 3x] = x(x-4)^2(5x-8)$

(5) $y = \frac{(x-5)^3}{x+5}$

商の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{((x-5)^3)'(x+5) - (x-5)^3(x+5)'}{(x+5)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(x-5)^2(x+5) - (x-5)^3(1)}{(x+5)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-5)^2 [3(x+5) - (x-5)]}{(x+5)^2} = \frac{(x-5)^2(3x+15-x+5)}{(x+5)^2} = \frac{(x-5)^2(2x+20)}{(x+5)^2} = \frac{2(x-5)^2(x+10)}{(x+5)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 15(5x - 7)^2$

(2) $\frac{dy}{dx} = 54x^8 + 75x^4 - 64x^3$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + 8x}{(x+4)^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = x(x-4)^2(5x-8)$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{2(x-5)^2(x+10)}{(x+5)^2}$