次の陰関数で定義される $y=f(x)$ の極値を求めます。 (1) $x^2 - xy + y^2 - 3 = 0$ (2) $xy(y-x) - 16 = 0$ (3) $x^3 - 3xy + y^3 = 0$

はい、承知しました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

次の陰関数で定義される $y=f(x)$ の極値を求めます。

(1) $x^2 - xy + y^2 - 3 = 0$

(2) $xy(y-x) - 16 = 0$

(3) $x^3 - 3xy + y^3 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - xy + y^2 - 3 = 0$ の場合

まず、両辺を $x$ で微分します。

$2x - (y + x \frac{dy}{dx}) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}(2y - x) = y - 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{y-2x}{2y-x}$

極値では $\frac{dy}{dx} = 0$ となるので、 $y - 2x = 0$ すなわち $y = 2x$ です。

これを元の式に代入すると、

$x^2 - x(2x) + (2x)^2 - 3 = 0$

$x^2 - 2x^2 + 4x^2 - 3 = 0$

$3x^2 = 3$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

$x = 1$ のとき $y = 2$, $x = -1$ のとき $y = -2$

したがって、$(x, y) = (1, 2), (-1, -2)$

次に、$\frac{d^2y}{dx^2}$を求めます。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left(\frac{y-2x}{2y-x}\right)$

$= \frac{(\frac{dy}{dx} - 2)(2y-x) - (y-2x)(2\frac{dy}{dx} - 1)}{(2y-x)^2}$

$\frac{dy}{dx}=0$のとき

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2(2y-x) + (y-2x)}{(2y-x)^2} = \frac{-4y + 2x + y - 2x}{(2y-x)^2} = \frac{-3y}{(2y-x)^2}$

$(1, 2)$ のとき $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-6}{(4-1)^2} = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3} < 0$ なので、極大値 $y=2$ をとる。

$(-1, -2)$ のとき $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{6}{(-4+1)^2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} > 0$ なので、極小値 $y=-2$ をとる。

(2) $xy(y-x) - 16 = 0$ の場合

$xy^2 - x^2y - 16 = 0$ を $x$ で微分します。

$y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} - 2xy - x^2 \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}(2xy - x^2) = 2xy - y^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy - y^2}{2xy - x^2}$

$\frac{dy}{dx} = 0$ となるのは $2xy - y^2 = 0$ すなわち $y(2x-y) = 0$

$y = 0$ または $y = 2x$

$y=0$のとき、$-16 = 0$ となり矛盾するので、$y=0$ はあり得ない。

$y = 2x$ を元の式に代入すると、

$x(2x)(2x-x) - 16 = 0$

$2x^3 - x^2*x - 16 = 0$

$2x^3 - x^3 = 16$

$x^3 = 8$

$x = 2$

$y = 2x = 4$

したがって、$(x, y) = (2, 4)$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\frac{2xy - y^2}{2xy - x^2}) = \frac{d}{dx} (\frac{y(2x-y)}{x(2y-x)})$

$\frac{dy}{dx} = 0$ のとき、$2xy - y^2 = 0$ なので、$2xy = y^2$.

$y = 2x$ の近傍で考える。

このとき、$y = 2x$ を代入すると$\frac{2xy-y^2}{2xy-x^2} = \frac{0}{2x(2x)-x^2} = 0$.

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{x}$となり、$x=2$のとき正なので、極小値を持つ。

$\frac{d^2y}{dx^2}|_{x=2,y=4} = \frac{4}{4} > 0$なので、極小値$y=4$を持つ。

(3) $x^3 - 3xy + y^3 = 0$ の場合

$3x^2 - 3(y + x \frac{dy}{dx}) + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$

$x^2 - y - x \frac{dy}{dx} + y^2 \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}(y^2 - x) = y - x^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

$\frac{dy}{dx} = 0$ となるのは $y - x^2 = 0$ すなわち $y = x^2$

これを元の式に代入すると、

$x^3 - 3x(x^2) + (x^2)^3 = 0$

$x^3 - 3x^3 + x^6 = 0$

$x^6 - 2x^3 = 0$

$x^3(x^3 - 2) = 0$

$x = 0$ または $x = \sqrt[3]{2}$

$x = 0$ のとき $y = 0$

$x = \sqrt[3]{2}$ のとき $y = (\sqrt[3]{2})^2 = 2^{2/3}$

したがって、$(x, y) = (0, 0), (\sqrt[3]{2}, 2^{2/3})$

$(0,0)$は定義できない。

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(y^2-x)(\frac{dy}{dx} - 2x) - (y-x^2)(2y \frac{dy}{dx} - 1)}{(y^2-x)^2}$

$\frac{d^2 y}{dx^2}|_{y=x^2} = \frac{(x^4-x)(-2x) - 0 }{(x^4-x)^2} = \frac{-2x(x^4-x)}{(x(x^3-1))^2} = \frac{-2(x^3-1)}{x(x^3-1)^2} = \frac{-2}{x(x^3-1)}$

$\frac{d^2 y}{dx^2}|_{x=2^{1/3}} = \frac{-2}{2^{1/3}(2-1)} = -2*2^{-1/3} < 0$

したがって、$x = \sqrt[3]{2}$ で極大値 $2^{2/3}$ を持つ。

3. 最終的な答え

(1) 極大値 $y=2$ (at $x=1$), 極小値 $y=-2$ (at $x=-1$)

(2) 極小値 $y=4$ (at $x=2$)

(3) 極大値 $y = 2^{2/3}$ (at $x = 2^{1/3}$)