$\sqrt{R^2 + a^2} \approx R(1 + \frac{a^2}{2R^2})$ を示す問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{R^2 + a^2} \approx R(1 + \frac{a^2}{2R^2})$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

左辺を変形して右辺に近づけます。

まず、左辺を $R$ でくくり出すことを考えます。

$\sqrt{R^2 + a^2} = \sqrt{R^2(1 + \frac{a^2}{R^2})} = R\sqrt{1 + \frac{a^2}{R^2}}$

ここで、$\frac{a^2}{R^2}$ が十分に小さいと仮定すると、$\sqrt{1+x} \approx 1+\frac{x}{2}$ という近似式が使えます。これはテイラー展開（または二項定理）における一次近似です。

この近似式を適用すると、

$R\sqrt{1 + \frac{a^2}{R^2}} \approx R(1 + \frac{1}{2} \frac{a^2}{R^2}) = R(1 + \frac{a^2}{2R^2})$

これは右辺に一致します。

3. 最終的な答え

$\sqrt{R^2 + a^2} \approx R(1 + \frac{a^2}{2R^2})$ （証明終わり）