(1) 関数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1$ に対して、マクローリンの定理（$n=4$）を適用し、さらに $a=1, b=x$ としてテイラーの定理（$n=4$）を適用する。 (2) 関数 $f(x) = \log(1+x)$ に対して、マクローリンの定理（$n=4$）を適用する。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1$ に対して、マクローリンの定理（$n=4$）を適用し、さらに $a=1, b=x$ としてテイラーの定理（$n=4$）を適用する。

(2) 関数 $f(x) = \log(1+x)$ に対して、マクローリンの定理（$n=4$）を適用する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、関数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1$ に対して、マクローリンの定理を適用する。マクローリンの定理は、テイラーの定理において $a=0$ とした場合であり、$f(x)$ を $x=0$ の周りで展開する。$n=4$ なので、4次の項まで求める。

$f(x)$ の各階微分を計算する。

$f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1$

$f'(x) = 3x^2 - 4x + 3$

$f''(x) = 6x - 4$

$f'''(x) = 6$

$f''''(x) = 0$

$x=0$ での各階微分の値を計算する。

$f(0) = -1$

$f'(0) = 3$

$f''(0) = -4$

$f'''(0) = 6$

$f''''(0) = 0$

マクローリン展開は次のようになる。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \dots$

$f(x) = -1 + 3x - \frac{4}{2}x^2 + \frac{6}{6}x^3 + 0 x^4$

$f(x) = -1 + 3x - 2x^2 + x^3$

次に、$a=1, b=x$ としてテイラーの定理を適用する。テイラーの定理は、$f(x)$ を $x=a$ の周りで展開する。

$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \frac{f''''(a)}{4!}(x-a)^4 + \dots$

$a=1$ より、

$f(1) = 1 - 2 + 3 - 1 = 1$

$f'(1) = 3 - 4 + 3 = 2$

$f''(1) = 6 - 4 = 2$

$f'''(1) = 6$

$f''''(1) = 0$

したがって、

$f(x) = 1 + 2(x-1) + \frac{2}{2}(x-1)^2 + \frac{6}{6}(x-1)^3 + 0(x-1)^4$

$f(x) = 1 + 2(x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^3$

$f(x) = 1 + 2x - 2 + x^2 - 2x + 1 + x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

$f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1$

(2)

$f(x) = \log(1+x)$ に対して、マクローリンの定理を適用する。

$f(x)$ の各階微分を計算する。

$f(x) = \log(1+x)$

$f'(x) = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$

$f''(x) = -1(1+x)^{-2} = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$f'''(x) = 2(1+x)^{-3} = \frac{2}{(1+x)^3}$

$f''''(x) = -6(1+x)^{-4} = -\frac{6}{(1+x)^4}$

$x=0$ での各階微分の値を計算する。

$f(0) = \log(1) = 0$

$f'(0) = 1$

$f''(0) = -1$

$f'''(0) = 2$

$f''''(0) = -6$

マクローリン展開は次のようになる。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \dots$

$f(x) = 0 + x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{6}x^3 - \frac{6}{24}x^4 + \dots$

$f(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1$ のマクローリン展開（$n=4$）:

$f(x) = -1 + 3x - 2x^2 + x^3$

$a=1, b=x$ としてのテイラー展開（$n=4$）:

$f(x) = 1 + 2(x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^3$ (元の関数と同じ)

(2) $f(x) = \log(1+x)$ のマクローリン展開（$n=4$）:

$f(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4$