与えられた5つの関数を、それぞれ $x$ で微分する問題です。 (1) $y = (5x-7)^3$ (2) $y = (2x^4+5)(3x^5-8)$ (3) $y = \frac{x^2}{x+4}$ (4) $y = x^2(x-4)^3$ (5) $y = \frac{(x-5)^3}{x+5}$

1. 問題の内容

与えられた5つの関数を、それぞれ $x$ で微分する問題です。

(1) $y = (5x-7)^3$

(2) $y = (2x^4+5)(3x^5-8)$

(3) $y = \frac{x^2}{x+4}$

(4) $y = x^2(x-4)^3$

(5) $y = \frac{(x-5)^3}{x+5}$

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で微分を計算します。

(1) $y = (5x-7)^3$

これは合成関数の微分なので、連鎖律を用います。$u = 5x-7$ とおくと、$y = u^3$となり、$dy/dx = (dy/du) \cdot (du/dx)$ が成り立ちます。

$dy/du = 3u^2 = 3(5x-7)^2$

$du/dx = 5$

よって、

$dy/dx = 3(5x-7)^2 \cdot 5 = 15(5x-7)^2$

(2) $y = (2x^4+5)(3x^5-8)$

これは積の微分なので、$(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = 2x^4+5$, $v = 3x^5-8$ とおくと、

$u' = 8x^3$, $v' = 15x^4$

よって、

$dy/dx = (8x^3)(3x^5-8) + (2x^4+5)(15x^4) = 24x^8 - 64x^3 + 30x^8 + 75x^4 = 54x^8 + 75x^4 - 64x^3$

(3) $y = \frac{x^2}{x+4}$

これは商の微分なので、$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x^2$, $v = x+4$ とおくと、

$u' = 2x$, $v' = 1$

よって、

$dy/dx = \frac{(2x)(x+4) - (x^2)(1)}{(x+4)^2} = \frac{2x^2+8x - x^2}{(x+4)^2} = \frac{x^2+8x}{(x+4)^2}$

(4) $y = x^2(x-4)^3$

これは積の微分なので、$(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2$, $v = (x-4)^3$ とおくと、

$u' = 2x$, $v' = 3(x-4)^2$

よって、

$dy/dx = (2x)(x-4)^3 + (x^2)(3(x-4)^2) = 2x(x-4)^3 + 3x^2(x-4)^2 = x(x-4)^2[2(x-4) + 3x] = x(x-4)^2(2x-8+3x) = x(x-4)^2(5x-8)$

(5) $y = \frac{(x-5)^3}{x+5}$

これは商の微分なので、$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = (x-5)^3$, $v = x+5$ とおくと、

$u' = 3(x-5)^2$, $v' = 1$

よって、

$dy/dx = \frac{3(x-5)^2(x+5) - (x-5)^3(1)}{(x+5)^2} = \frac{(x-5)^2[3(x+5) - (x-5)]}{(x+5)^2} = \frac{(x-5)^2(3x+15-x+5)}{(x+5)^2} = \frac{(x-5)^2(2x+20)}{(x+5)^2} = \frac{2(x-5)^2(x+10)}{(x+5)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $dy/dx = 15(5x-7)^2$

(2) $dy/dx = 54x^8 + 75x^4 - 64x^3$

(3) $dy/dx = \frac{x^2+8x}{(x+4)^2}$

(4) $dy/dx = x(x-4)^2(5x-8)$

(5) $dy/dx = \frac{2(x-5)^2(x+10)}{(x+5)^2}$