関数 $f(x,y) = \exp(6x^2 - 2xy)$ が与えられている。 (1) 全微分 $df(1,3)$ を求める。 (2) 点 $(1,3)$ における $f$ の1次近似を求める。 (3) 点 $(1,3, f(1,3))$ における $z=f(x,y)$ の接平面の方程式を求める。

## HW 12.1

1. **問題の内容**

関数 $f(x,y) = \exp(6x^2 - 2xy)$ が与えられている。

(1) 全微分 $df(1,3)$ を求める。

(2) 点 $(1,3)$ における $f$ の1次近似を求める。

(3) 点 $(1,3, f(1,3))$ における $z=f(x,y)$ の接平面の方程式を求める。

2. **解き方の手順**

(1) 全微分 $df$ は、偏微分を用いて次のように表される。

$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

まず、偏微分を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \exp(6x^2 - 2xy) \cdot (12x - 2y)$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \exp(6x^2 - 2xy) \cdot (-2x)$

次に、点 $(1,3)$ での偏微分の値を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x}(1,3) = \exp(6(1)^2 - 2(1)(3)) \cdot (12(1) - 2(3)) = \exp(0) \cdot (12 - 6) = 1 \cdot 6 = 6$

$\frac{\partial f}{\partial y}(1,3) = \exp(6(1)^2 - 2(1)(3)) \cdot (-2(1)) = \exp(0) \cdot (-2) = 1 \cdot (-2) = -2$

したがって、

$df(1,3) = 6 dx - 2 dy$

(2) 点 $(1,3)$ における $f$ の1次近似は、次のように表される。

$L(x,y) = f(1,3) + \frac{\partial f}{\partial x}(1,3) (x-1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1,3) (y-3)$

$f(1,3) = \exp(6(1)^2 - 2(1)(3)) = \exp(0) = 1$

したがって、

$L(x,y) = 1 + 6(x-1) - 2(y-3) = 1 + 6x - 6 - 2y + 6 = 6x - 2y + 1$

(3) 点 $(1,3,f(1,3))$ における接平面の方程式は、次のように表される。

$z = f(1,3) + \frac{\partial f}{\partial x}(1,3) (x-1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1,3) (y-3)$

これは、1次近似と同じ形である。

$z = 1 + 6(x-1) - 2(y-3) = 6x - 2y + 1$

したがって、接平面の方程式は $z = 6x - 2y + 1$ である。

3. **最終的な答え**

(1) $df(1,3) = 6 dx - 2 dy$

(2) $L(x,y) = 6x - 2y + 1$

(3) $z = 6x - 2y + 1$

## HW 12.2

1. **問題の内容**

$f(x,y) = x^3 - 2y^3 + x^2 + y^2$ および $g(t) = f(\cos t, \sin t)$ が与えられている。微分係数 $g'(\frac{\pi}{4})$ の値を求める。

2. **解き方の手順**

合成関数の微分を用いて、$g'(t)$ を計算する。

$g'(t) = \frac{\partial f}{\partial x}(\cos t, \sin t) \cdot \frac{d}{dt}(\cos t) + \frac{\partial f}{\partial y}(\cos t, \sin t) \cdot \frac{d}{dt}(\sin t)$

まず、偏微分を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 2x$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -6y^2 + 2y$

次に、$x = \cos t$, $y = \sin t$ を代入する。

$\frac{\partial f}{\partial x}(\cos t, \sin t) = 3\cos^2 t + 2\cos t$

$\frac{\partial f}{\partial y}(\cos t, \sin t) = -6\sin^2 t + 2\sin t$

また、$\frac{d}{dt}(\cos t) = -\sin t$ および $\frac{d}{dt}(\sin t) = \cos t$ である。

したがって、

$g'(t) = (3\cos^2 t + 2\cos t)(-\sin t) + (-6\sin^2 t + 2\sin t)(\cos t)$

$g'(t) = -3\cos^2 t \sin t - 2\cos t \sin t - 6\sin^2 t \cos t + 2\sin t \cos t$

$g'(t) = -3\cos^2 t \sin t - 6\sin^2 t \cos t$

$t = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ である。

$g'(\frac{\pi}{4}) = -3(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - 6(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$g'(\frac{\pi}{4}) = -3(\frac{1}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2}) - 6(\frac{1}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$g'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{3\sqrt{2}}{4} - \frac{6\sqrt{2}}{4} = -\frac{9\sqrt{2}}{4}$

3. **最終的な答え**

$g'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{9\sqrt{2}}{4}$