与えられた5つの関数を $x$ で微分する問題です。 (1) $y = (5x-7)^3$ (2) $y = (2x^4+5)(3x^5-8)$ (3) $y = \frac{x^2}{x+4}$ (4) $y = x^2(x-4)^3$ (5) $y = \frac{(x-5)^3}{x+5}$

1. 問題の内容

与えられた5つの関数を $x$ で微分する問題です。

(1) $y = (5x-7)^3$

(2) $y = (2x^4+5)(3x^5-8)$

(3) $y = \frac{x^2}{x+4}$

(4) $y = x^2(x-4)^3$

(5) $y = \frac{(x-5)^3}{x+5}$

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分を使います。

$y = (5x-7)^3$

$\frac{dy}{dx} = 3(5x-7)^2 \cdot 5 = 15(5x-7)^2$

(2) 積の微分を使います。

$y = (2x^4+5)(3x^5-8)$

$\frac{dy}{dx} = (8x^3)(3x^5-8) + (2x^4+5)(15x^4)$

$\frac{dy}{dx} = 24x^8 - 64x^3 + 30x^8 + 75x^4 = 54x^8 + 75x^4 - 64x^3$

(3) 商の微分を使います。

$y = \frac{x^2}{x+4}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x)(x+4) - (x^2)(1)}{(x+4)^2} = \frac{2x^2+8x - x^2}{(x+4)^2} = \frac{x^2+8x}{(x+4)^2}$

(4) 積の微分と合成関数の微分を使います。

$y = x^2(x-4)^3$

$\frac{dy}{dx} = (2x)(x-4)^3 + (x^2)(3(x-4)^2(1)) = 2x(x-4)^3 + 3x^2(x-4)^2$

$\frac{dy}{dx} = x(x-4)^2[2(x-4) + 3x] = x(x-4)^2(2x-8+3x) = x(x-4)^2(5x-8)$

(5) 商の微分と合成関数の微分を使います。

$y = \frac{(x-5)^3}{x+5}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(x-5)^2(1)(x+5) - (x-5)^3(1)}{(x+5)^2} = \frac{(x-5)^2[3(x+5)-(x-5)]}{(x+5)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-5)^2[3x+15-x+5]}{(x+5)^2} = \frac{(x-5)^2(2x+20)}{(x+5)^2} = \frac{2(x-5)^2(x+10)}{(x+5)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 15(5x-7)^2$

(2) $\frac{dy}{dx} = 54x^8 + 75x^4 - 64x^3$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+8x}{(x+4)^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = x(x-4)^2(5x-8)$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{2(x-5)^2(x+10)}{(x+5)^2}$