以下の極限値を求めます。 (a) $\lim_{x \to +0} (-\frac{1}{x})$ (b) $\lim_{x \to -0} (-\frac{1}{x})$ (c) $\lim_{x \to 2+0} \frac{1}{x-2}$ (d) $\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2}$ (e) $\lim_{x \to 2+0} \frac{1}{2-x}$ (f) $\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{2-x}$ (g) $\lim_{x \to -0} 5^{\frac{1}{x}}$ (h) $\lim_{x \to 2+0} 8^{\frac{3}{2-x}}$ (i) $\lim_{x \to +0} (\frac{1}{9})^{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ (j) $\lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{5}{h}}$ (k) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{-2x}$ (l) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^{x}$

## 極限の問題の解答

1. 問題の内容

以下の極限値を求めます。

(a) $\lim_{x \to +0} (-\frac{1}{x})$

(b) $\lim_{x \to -0} (-\frac{1}{x})$

(c) $\lim_{x \to 2+0} \frac{1}{x-2}$

(d) $\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2}$

(e) $\lim_{x \to 2+0} \frac{1}{2-x}$

(f) $\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{2-x}$

(g) $\lim_{x \to -0} 5^{\frac{1}{x}}$

(h) $\lim_{x \to 2+0} 8^{\frac{3}{2-x}}$

(i) $\lim_{x \to +0} (\frac{1}{9})^{\frac{1}{\sqrt{x}}}$

(j) $\lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{5}{h}}$

(k) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{-2x}$

(l) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^{x}$

2. 解き方の手順

(a) $x$ が $0$ に正の方向から近づくとき、$\frac{1}{x}$ は $+\infty$ に発散するので、$-\frac{1}{x}$ は $-\infty$ に発散します。

(b) $x$ が $0$ に負の方向から近づくとき、$\frac{1}{x}$ は $-\infty$ に発散するので、$-\frac{1}{x}$ は $+\infty$ に発散します。

(c) $x$ が $2$ に $2$ より大きい方向から近づくとき、$x-2$ は $0$ に正の方向から近づくので、$\frac{1}{x-2}$ は $+\infty$ に発散します。

(d) $x$ が $2$ に $2$ より小さい方向から近づくとき、$x-2$ は $0$ に負の方向から近づくので、$\frac{1}{x-2}$ は $-\infty$ に発散します。

(e) $x$ が $2$ に $2$ より大きい方向から近づくとき、$2-x$ は $0$ に負の方向から近づくので、$\frac{1}{2-x}$ は $-\infty$ に発散します。

(f) $x$ が $2$ に $2$ より小さい方向から近づくとき、$2-x$ は $0$ に正の方向から近づくので、$\frac{1}{2-x}$ は $+\infty$ に発散します。

(g) $x$ が $0$ に負の方向から近づくとき、$\frac{1}{x}$ は $-\infty$ に発散するので、$5^{\frac{1}{x}}$ は $0$ に近づきます。

(h) $x$ が $2$ に $2$ より大きい方向から近づくとき、$2-x$ は $0$ に負の方向から近づくので、$\frac{3}{2-x}$ は $-\infty$ に発散します。したがって、$8^{\frac{3}{2-x}}$ は $0$ に近づきます。

(i) $x$ が $0$ に正の方向から近づくとき、$\sqrt{x}$ は $0$ に近づき、$\frac{1}{\sqrt{x}}$ は $+\infty$ に発散します。したがって、$(\frac{1}{9})^{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ は $0$ に近づきます。

(j) $\lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e$ なので、$\lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{5}{h}} = (\lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}})^5 = e^5$ です。

(k) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$ なので、$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{-2x} = (\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x})^{-2} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$ です。

(l) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^{x} = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^{\frac{x}{3} \cdot 3} = \lim_{x \to \infty} ((1 + \frac{3}{x})^{\frac{x}{3}})^3 = e^3$ です。

3. 最終的な答え

(a) $-\infty$

(b) $+\infty$

(c) $+\infty$

(d) $-\infty$

(e) $-\infty$

(f) $+\infty$

(g) $0$

(h) $0$

(i) $0$

(j) $e^5$

(k) $\frac{1}{e^2}$

(l) $e^3$