与えられた微分方程式を解く問題です。 微分方程式は $2xy'' + y' = 2e^x(1+x)$ です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解く問題です。

微分方程式は $2xy'' + y' = 2e^x(1+x)$ です。

2. 解き方の手順

まず、$u = y'$ とおきます。すると、$y'' = u'$ となり、微分方程式は以下のようになります。

$2xu' + u = 2e^x(1+x)$

これは、$u$ に関する1階線形微分方程式です。これを解くために、まず両辺を $2x$ で割ります。

$u' + \frac{1}{2x}u = \frac{e^x(1+x)}{x}$

次に、積分因子 $\mu(x)$ を求めます。積分因子は、以下の式で計算されます。

$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{2x} dx} = e^{\frac{1}{2}\ln|x|} = e^{\ln\sqrt{|x|}} = \sqrt{|x|}$

ここで、$x>0$と仮定すると、$\mu(x) = \sqrt{x}$となります。

両辺に積分因子 $\sqrt{x}$ を掛けると、

$\sqrt{x} u' + \frac{1}{2\sqrt{x}} u = e^x(1+x)\frac{1}{\sqrt{x}}$

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x} u) = e^x(1+x)\frac{1}{\sqrt{x}}$

両辺を積分すると、

$\sqrt{x} u = \int e^x (1+x) \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

$u = \frac{1}{\sqrt{x}} \int e^x (1+x) \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

$=x^{-1/2}\int e^x x^{-1/2} dx+\int e^x x^{1/2} dx$

少し形式を変え、与えられた微分方程式は

$(2x y')' = 2e^x (1+x)$

$\int (2x y')' dx = \int 2e^x (1+x) dx$

$2x y' = 2xe^x + C$

$y' = e^x + \frac{C}{2x}$

$y = \int e^x + \frac{C}{2x} dx = e^x + \frac{C}{2}\ln|x| + D$

3. 最終的な答え

$y = e^x + C_1 \ln|x| + C_2$ ($C_1 = \frac{C}{2}$, $C_2 = D$)