与えられた積分 $\int 2e^x(1+x)dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int 2e^x(1+x)dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の式を展開します。

$$\int 2e^x(1+x)dx = \int (2e^x + 2xe^x)dx$$

次に、積分を2つに分けます。

$$\int (2e^x + 2xe^x)dx = \int 2e^x dx + \int 2xe^x dx$$

最初の積分は簡単に計算できます。

$$\int 2e^x dx = 2e^x + C_1$$

2番目の積分 $\int 2xe^x dx$ は部分積分を用いて計算します。

$u = 2x$ と $dv = e^x dx$ とおくと、$du = 2dx$ と $v = e^x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を使うと、

$$\int 2xe^x dx = 2xe^x - \int e^x (2)dx = 2xe^x - 2\int e^x dx = 2xe^x - 2e^x + C_2$$

したがって、

$$\int 2e^x dx + \int 2xe^x dx = (2e^x) + (2xe^x - 2e^x) + C = 2xe^x + C$$

ここで、$C = C_1 + C_2$です。

3. 最終的な答え

$2xe^x + C$