与えられた各関数について、それが連続である範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた各関数について、それが連続である範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(a) $y = x^2$

これは多項式関数なので、すべての実数で連続です。

(b) $y = 3^x$

これは指数関数なので、すべての実数で連続です。

(c) $y = e^{-x}$

これは指数関数なので、すべての実数で連続です。

(d) $y = \log_4 x$

これは対数関数なので、定義域は $x > 0$ です。したがって、連続である範囲は $x > 0$ です。

(e) $y = \sqrt[3]{x}$

これは3乗根関数なので、すべての実数で連続です。

(f) $y = \sqrt[6]{x}$

これは6乗根関数なので、定義域は $x \geq 0$ です。したがって、連続である範囲は $x \geq 0$ です。

(g) $y = \frac{1 - x^2}{x^2 + 1}$

分母が $x^2 + 1$ であり、これは常に正の値をとるため、すべての実数で連続です。

(h) $y = \frac{3x + 2}{x^2 - 3x + 2}$

分母が $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ と因数分解できるため、$x = 1$ と $x = 2$ で定義されません。したがって、連続である範囲は $x \neq 1, 2$ です。

(i) $y = \frac{1 - x^3}{x^4 - 1}$

分母が $x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$ と因数分解できるため、$x = 1$ と $x = -1$ で定義されません。したがって、連続である範囲は $x \neq 1, -1$ です。

3. 最終的な答え

(a) すべての実数

(b) すべての実数

(c) すべての実数

(d) $x > 0$

(e) すべての実数

(f) $x \geq 0$

(g) すべての実数

(h) $x \neq 1, 2$

(i) $x \neq 1, -1$