与えられた3つの不定積分を計算する問題です。不定積分の積分定数は $C$ とし、$a, b, c, d$ は全て定数です。 (1) $\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t}) dt$ (2) $\int (a \sin(bt + c) + d \cos(bt + c)) dt$ (3) $\int (ae^{bt} + ce^{-bt}) dt$

1. 問題の内容

与えられた3つの不定積分を計算する問題です。不定積分の積分定数は $C$ とし、$a, b, c, d$ は全て定数です。

(1) $\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t}) dt$

(2) $\int (a \sin(bt + c) + d \cos(bt + c)) dt$

(3) $\int (ae^{bt} + ce^{-bt}) dt$

2. 解き方の手順

(1) 多項式と $\frac{1}{t}$ の積分です。それぞれの項を積分します。

$\int at^2 dt = \frac{a}{3}t^3$

$\int bt dt = \frac{b}{2}t^2$

$\int c dt = ct$

$\int \frac{d}{t} dt = d \ln |t|$

(2) 三角関数の積分です。

$\int \sin(bt + c) dt = -\frac{1}{b} \cos(bt + c)$

$\int \cos(bt + c) dt = \frac{1}{b} \sin(bt + c)$

(3) 指数関数の積分です。

$\int e^{bt} dt = \frac{1}{b} e^{bt}$

$\int e^{-bt} dt = -\frac{1}{b} e^{-bt}$

上記を踏まえて、それぞれの積分を計算します。

3. 最終的な答え

(1)

$\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t}) dt = \frac{a}{3}t^3 + \frac{b}{2}t^2 + ct + d \ln |t| + C$

(2)

$\int (a \sin(bt + c) + d \cos(bt + c)) dt = a \int \sin(bt+c) dt + d \int \cos(bt+c) dt = -\frac{a}{b} \cos(bt + c) + \frac{d}{b} \sin(bt + c) + C$

(3)

$\int (ae^{bt} + ce^{-bt}) dt = a \int e^{bt} dt + c \int e^{-bt} dt = \frac{a}{b} e^{bt} - \frac{c}{b} e^{-bt} + C$