与えられた関数 $f(x, y)$ と、合成関数 $z = f(\phi(t), \psi(t))$, $z = f(s^2 + t^2, st)$ に関する問題、陰関数表示 $f(x, y) = 0$ から $\frac{dy}{dx}$ を求める問題、および曲線 $f(x, y) = 0$ の接線を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ と、合成関数 $z = f(\phi(t), \psi(t))$, $z = f(s^2 + t^2, st)$ に関する問題、陰関数表示 $f(x, y) = 0$ から $\frac{dy}{dx}$ を求める問題、および曲線 $f(x, y) = 0$ の接線を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、最初の問題から順に解いていきます。

* $f(x,y) = 2x^4 - 3x^3 + 4xy^2 - 5y^2$, $\phi(t) = e^{2t}$, $\psi(t) = e^{3t}$ について、$\frac{dz}{dt}$ を求めます。

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d\phi}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d\psi}{dt}$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 8x^3 - 9x^2 + 4y^2$, $\frac{\partial f}{\partial y} = 8xy - 10y$

$\frac{d\phi}{dt} = 2e^{2t}$, $\frac{d\psi}{dt} = 3e^{3t}$

$\frac{dz}{dt} = (8x^3 - 9x^2 + 4y^2)(2e^{2t}) + (8xy - 10y)(3e^{3t})$

$x = e^{2t}, y = e^{3t}$ を代入すると、

$\frac{dz}{dt} = (8e^{6t} - 9e^{4t} + 4e^{6t})(2e^{2t}) + (8e^{5t} - 10e^{3t})(3e^{3t})$

$\frac{dz}{dt} = (12e^{6t} - 9e^{4t})(2e^{2t}) + (8e^{5t} - 10e^{3t})(3e^{3t})$

$\frac{dz}{dt} = 24e^{8t} - 18e^{6t} + 24e^{8t} - 30e^{6t} = 48e^{8t} - 48e^{6t}$

よって、(1) = 48, (2) = -48

* $f(x,y)$ に $x = s^2 + t^2$, $y = st$ を代入した合成関数 $z(s, t) = f(s^2 + t^2, st)$ を考えます。$f_x(13, -6) = a, f_y(13, -6) = b$ とします。このとき、$z_s(2, -3)$ と $z_t(2, -3)$ を求めます。

$x = s^2 + t^2$, $y = st$

$z_s = f_x \frac{\partial x}{\partial s} + f_y \frac{\partial y}{\partial s} = f_x (2s) + f_y (t)$

$z_t = f_x \frac{\partial x}{\partial t} + f_y \frac{\partial y}{\partial t} = f_x (2t) + f_y (s)$

$s = 2, t = -3$ のとき、$x = 2^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13$, $y = 2(-3) = -6$ なので、$f_x(13, -6) = a$, $f_y(13, -6) = b$ を使えます。

$z_s(2, -3) = a(2 \cdot 2) + b(-3) = 4a - 3b$

$z_t(2, -3) = a(2 \cdot (-3)) + b(2) = -6a + 2b$

よって、(3) = 4, (4) = -3, (5) = -6, (6) = 2

* $f(x, y) = x^4 + y^3 - 3x^2y$ とし、$y = y(x)$ が $f(x, y) = 0$ を満たしているとします。$\frac{dy}{dx}$ を $x, y$ を用いて表します。

$f(x, y) = 0$ より、$4x^3 + 3y^2 \frac{dy}{dx} - 6xy - 3x^2 \frac{dy}{dx} = 0$

$(3y^2 - 3x^2) \frac{dy}{dx} = 6xy - 4x^3$

$\frac{dy}{dx} = \frac{6xy - 4x^3}{3y^2 - 3x^2} = \frac{2x(3y - 2x^2)}{3(y^2 - x^2)}$

よって、(7) = $2x(3y - 2x^2)$, (8) = $3(y^2 - x^2)$

* $f(x, y) = 6x^4 + 4y^4 - 21x^3 + 6x^2y^2 + 19x^2 - 11xy^2 - 3y^2 = 0$ とします。曲線 $f(x, y) = 0$ の $(x, y) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ における接線の方程式は $y = ax + b$ となります。

$f_x = 24x^3 - 63x^2 + 12xy^2 + 38x - 11y^2$

$f_y = 16y^3 + 12x^2y - 22xy - 6y$

$f_x(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) = 24(\frac{1}{16}) - 63(\frac{1}{4}) + 12(\frac{1}{4})(\frac{1}{2}) + 38(\frac{1}{2}) - 11(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - \frac{63}{4} + \frac{3}{2} + 19 - \frac{11}{2} = \frac{6 - 63 + 6 + 76 - 22}{4} = \frac{-57 + 82 - 22}{4} = \frac{25}{4} - \frac{22}{4}= \frac{-3}{4}$

$f_y(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) = 16(\frac{2\sqrt{2}}{8}) + 12(\frac{1}{4})(\frac{\sqrt{2}}{2}) - 22(\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) - 6(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 4\sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{11\sqrt{2}}{2} - 3\sqrt{2} = \sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2} - 11\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} - 4\sqrt{2} = -3\sqrt{2}$

接線の傾き $a = -\frac{f_x}{f_y} = - \frac{-3/4}{-3\sqrt{2}} = -\frac{1}{4\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{8}$

$y - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{8}(x - \frac{1}{2})$

$y = -\frac{\sqrt{2}}{8}x + \frac{\sqrt{2}}{16} + \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{8}x + \frac{\sqrt{2} + 8\sqrt{2}}{16} = -\frac{\sqrt{2}}{8}x + \frac{9\sqrt{2}}{16}$

よって、(9) = $-\frac{\sqrt{2}}{8}$, (10) = $\frac{9\sqrt{2}}{16}$

* $f(x, y) = (x^2 + y^2 - 3x)^2 - (x^2 + y^2)$ とします。曲線 $f(x, y) = 0$ の $(x, y) = (\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ における接線の方程式は $y = ax + b$ となります。

$f(x,y) = 0$ は $(x^2 + y^2 - 3x)^2 = x^2 + y^2$ と同値です。

$(x^2 + y^2 - 3x)^2 - (x^2 + y^2) = 0$

$2(x^2 + y^2 - 3x)(2x - 3) - (2x) + 2(x^2 + y^2 - 3x)(2y) - 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = - \frac{2x}{2y}$

$x = 1/4, y = \sqrt{3}/4$ の時、接線の傾き $a = - \frac{f_x}{f_y} = 3x-3$

\frac{2 \cdot (x-\frac32)^2 -(x^2+y^2) } {y \cdot \frac} =

$$(x^2+y^2 - \frac92*4+$$

$$= \cdot$$

$$

3. 最終的な答え

(1) 48

(2) -48

(3) 4

(4) -3

(5) -6

(6) 2

(7) $2x(3y - 2x^2)$

(8) $3(y^2 - x^2)$

(9) $-\frac{\sqrt{2}}{8}$

(10) $\frac{9\sqrt{2}}{16}$

(11) $\frac{1}{2}$

(12) $\frac{\sqrt{3}}{8}$