$0 \leqq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。 $\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

1. 問題の内容

$0 \leqq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

2. 解き方の手順

まず、$x = \theta - \frac{\pi}{3}$ とおく。すると、与えられた方程式は

$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

となる。

$0 \leqq \theta < 2\pi$ であるから、

$-\frac{\pi}{3} \leqq \theta - \frac{\pi}{3} < 2\pi - \frac{\pi}{3}$

つまり、

$-\frac{\pi}{3} \leqq x < \frac{5\pi}{3}$

の範囲で $x$ を求める。

$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ は、単位円上で $y$ 座標が $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる点を探すと、

$x = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

となる。

しかし、$x$ の範囲は$-\frac{\pi}{3} \leqq x < \frac{5\pi}{3}$であるから、$-\frac{2\pi}{3}$も解となる。

よって、$x = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

ここで、$x = \theta - \frac{\pi}{3}$ であったから、

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ または $\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

となる。

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ のとき、

$\theta = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ のとき、

$\theta = \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$

しかし、$0 \leqq \theta < 2\pi$ であるから、$\theta=2\pi$は条件を満たさない。

したがって、$\theta = \frac{5\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{5\pi}{3}$