問題は2つあります。 **問題1:** 重積分 $I = \int_0^{5/3} \int_{3y}^1 \frac{1}{(1+x^2)^3} dx dy$ について、積分領域が $\{ (x, y) \mid 3y \le x \le 1, 0 \le y \le 1 \} = \{ (x, y) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x/3 \}$ であることを示し、$I$ の値を計算します。 **問題2:** 重積分 $I = \iint_E (x+y) dxdy$ について、領域 $E = \{(x, y) \mid 0 \le x+2y \le 1, 0 \le -x+3y \le 1 \}$ が与えられています。 (1) $xy$ 平面における領域 $E$ を図示します。 (2) $uv$ 平面の領域 $D = \{(u, v) \mid 0 \le u \le 1, 0 \le v \le 1 \}$ を $xy$ 平面の領域 $E$ に対応させるような、2変数の一次式による変数変換 $x = \phi(u, v), y = \psi(u, v)$ を求めます。ここで、2変数の一次式による変数変換とは、$x = au + bv, y = cu + dv$ の形の変数変換のことです。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

**問題1:**

重積分 $I = \int_0^{5/3} \int_{3y}^1 \frac{1}{(1+x^2)^3} dx dy$ について、積分領域が $\{ (x, y) \mid 3y \le x \le 1, 0 \le y \le 1 \} = \{ (x, y) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x/3 \}$ であることを示し、$I$ の値を計算します。

**問題2:**

重積分 $I = \iint_E (x+y) dxdy$ について、領域 $E = \{(x, y) \mid 0 \le x+2y \le 1, 0 \le -x+3y \le 1 \}$ が与えられています。

(1) $xy$ 平面における領域 $E$ を図示します。

(2) $uv$ 平面の領域 $D = \{(u, v) \mid 0 \le u \le 1, 0 \le v \le 1 \}$ を $xy$ 平面の領域 $E$ に対応させるような、2変数の一次式による変数変換 $x = \phi(u, v), y = \psi(u, v)$ を求めます。ここで、2変数の一次式による変数変換とは、$x = au + bv, y = cu + dv$ の形の変数変換のことです。

2. 解き方の手順

**問題1:**

(1) 積分領域の表現について

$3y \le x \le 1$ より $y \le \frac{x}{3}$ であり、$0 \le y \le 1$ を考慮すると $0 \le y \le \frac{x}{3} \le \frac{1}{3}$ が成り立ちます。 $0 \le x \le 1$ の範囲で $0 \le y \le \frac{x}{3}$ は $3y \le x \le 1, 0 \le y \le 1$ と同じ領域を表します。また、$x$に関する範囲は$3y \le x \le 1$より、$0 \le x \le 1$であり、$y$に関する範囲は、$0 \le y \le x/3$より、$0 \le y \le 1/3$です。

したがって、積分領域は $\{(x, y) \mid 3y \le x \le 1, 0 \le y \le 1/3\} = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x/3\}$ と表すことができます。

(2) 重積分の計算

積分順序を変更して計算します。

$I = \int_0^1 \int_0^{x/3} \frac{1}{(1+x^2)^3} dy dx$

まず、$y$ で積分します。

$\int_0^{x/3} \frac{1}{(1+x^2)^3} dy = \frac{1}{(1+x^2)^3} \int_0^{x/3} dy = \frac{1}{(1+x^2)^3} \left[ y \right]_0^{x/3} = \frac{x}{3(1+x^2)^3}$

次に、$x$ で積分します。

$I = \int_0^1 \frac{x}{3(1+x^2)^3} dx$

ここで、$u = 1 + x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。

積分範囲は $x=0$ のとき $u=1$, $x=1$ のとき $u=2$ です。

したがって、

$I = \int_1^2 \frac{1}{3u^3} \frac{1}{2} du = \frac{1}{6} \int_1^2 u^{-3} du = \frac{1}{6} \left[ \frac{u^{-2}}{-2} \right]_1^2 = \frac{1}{6} \left[ -\frac{1}{2u^2} \right]_1^2 = \frac{1}{6} \left( -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{3}{8} \right) = \frac{1}{16}$

**問題2:**

(1) 領域 E の図示

領域 E は、$0 \le x+2y \le 1$ と $0 \le -x+3y \le 1$ によって囲まれた領域です。

これは4本の直線 $x+2y=0$, $x+2y=1$, $-x+3y=0$, $-x+3y=1$ で囲まれた平行四辺形です。

それぞれの交点を求めます。

$x+2y=0$ と $-x+3y=0$ の交点は $(0,0)$。

$x+2y=0$ と $-x+3y=1$ の交点は $y = 1/5, x = -2/5$。

$x+2y=1$ と $-x+3y=0$ の交点は $y = 1/5, x = 3/5$。

$x+2y=1$ と $-x+3y=1$ の交点は $y=2/5, x=1/5$。

したがって、平行四辺形の頂点は $(0, 0), (-2/5, 1/5), (3/5, 1/5), (1/5, 2/5)$ です。

(2) 変数変換

与えられた領域から、

$u = x+2y$

$v = -x+3y$

とおくと、$0 \le u \le 1, 0 \le v \le 1$ となり、$uv$平面における領域は正方形になります。

$x$ と $y$ を $u$ と $v$ で表します。

2つの式を足すと、$u+v = 5y$ より $y = \frac{1}{5}(u+v)$

$3u - 2v = 3x + 6y + 2x - 6y = 5x$ より $x = \frac{1}{5}(3u-2v)$

3. 最終的な答え

**問題1:**

$I = \frac{1}{16}$

**問題2:**

(1) 領域 E の図示: 平行四辺形の頂点は $(0, 0), (-2/5, 1/5), (3/5, 1/5), (1/5, 2/5)$ です。

(2) 変数変換:

$x = \frac{1}{5}(3u-2v)$

$y = \frac{1}{5}(u+v)$