区間 $(0, 2)$ において、関数 $f(x) = e^x \sin x$ が極大となる点と極小となる点を全て求めよ。ただし、極大、極小のどちらなのかも明記する。

1. 問題の内容

区間 $(0, 2)$ において、関数 $f(x) = e^x \sin x$ が極大となる点と極小となる点を全て求めよ。ただし、極大、極小のどちらなのかも明記する。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

積の微分法を用いると、

$$f'(x) = (e^x)' \sin x + e^x (\sin x)' = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$e^x > 0$ なので、$\sin x + \cos x = 0$ を解きます。

$\sin x + \cos x = 0$ は $\cos x = -\sin x$ と同値です。

両辺を $\cos x$ で割ると（ただし、$\cos x \neq 0$）、$\tan x = -1$ を得ます。

区間 $(0, 2)$ において、$\tan x = -1$ を満たす $x$ は $x = \frac{3\pi}{4}$ です。

（$\pi \approx 3.14$ なので、$\frac{3\pi}{4} \approx 2.36$ であり、2を超えないことに注意）

次に、$f'(x)$ の符号を調べます。

$f'(x) = e^x (\sin x + \cos x)$ であり、$e^x > 0$ なので、$\sin x + \cos x$ の符号を調べればよいです。

$x < \frac{3\pi}{4}$ のとき、例えば $x = \frac{\pi}{2}$ とすると、$\sin x + \cos x = \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1 > 0$ なので、$f'(x) > 0$。

$x > \frac{3\pi}{4}$ のとき、例えば $x = \pi$ とすると、$\sin x + \cos x = \sin \pi + \cos \pi = 0 + (-1) = -1 < 0$ なので、$f'(x) < 0$。

したがって、$x = \frac{3\pi}{4}$ において、$f'(x)$ の符号は正から負に変わるので、$x = \frac{3\pi}{4}$ は極大値を与えます。

また、$x=0$と$x=2$は区間の端点なので、極値の候補ではありません。

よって、極小値を与える点は存在しません。

3. 最終的な答え

極大となる点: $x = \frac{3\pi}{4}$

極小となる点: 存在しない