$\int \frac{x+2}{\sqrt{x}} dx$ を計算します。

はい、承知いたしました。画像にある3つの積分問題を解きます。

**問題(4)**

1. 問題の内容

$\int \frac{x+2}{\sqrt{x}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。

$\frac{x+2}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x}} = x^{1/2} + 2x^{-1/2}$

したがって、積分は

$\int (x^{1/2} + 2x^{-1/2}) dx$

各項を個別に積分します。

$\int x^{1/2} dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$

$\int 2x^{-1/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 4x^{1/2}$

したがって、積分は

$\frac{2}{3}x^{3/2} + 4x^{1/2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}x^{3/2} + 4x^{1/2} + C$

**問題(6)**

1. 問題の内容

$\int x(2\sqrt{x} - 3)^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$x(2\sqrt{x} - 3)^2 = x(4x - 12\sqrt{x} + 9) = 4x^2 - 12x^{3/2} + 9x$

したがって、積分は

$\int (4x^2 - 12x^{3/2} + 9x) dx$

各項を個別に積分します。

$\int 4x^2 dx = \frac{4}{3}x^3$

$\int -12x^{3/2} dx = -12 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} = -\frac{24}{5}x^{5/2}$

$\int 9x dx = \frac{9}{2}x^2$

したがって、積分は

$\frac{4}{3}x^3 - \frac{24}{5}x^{5/2} + \frac{9}{2}x^2 + C$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}x^3 - \frac{24}{5}x^{5/2} + \frac{9}{2}x^2 + C$

**問題(8)**

1. 問題の内容

$\int \sqrt{x}(x+1)^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$\sqrt{x}(x+1)^2 = \sqrt{x}(x^2 + 2x + 1) = x^{5/2} + 2x^{3/2} + x^{1/2}$

したがって、積分は

$\int (x^{5/2} + 2x^{3/2} + x^{1/2}) dx$

各項を個別に積分します。

$\int x^{5/2} dx = \frac{x^{7/2}}{7/2} = \frac{2}{7}x^{7/2}$

$\int 2x^{3/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{4}{5}x^{5/2}$

$\int x^{1/2} dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$

したがって、積分は

$\frac{2}{7}x^{7/2} + \frac{4}{5}x^{5/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{7}x^{7/2} + \frac{4}{5}x^{5/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C$