次の不定積分を求めます。 $\int (x+2)^2 dx$

はい、承知いたしました。問題15.2の(2)を解きます。

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int (x+2)^2 dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (x^2 + 4x + 4) dx$

積分を各項に分割します。

$\int x^2 dx + \int 4x dx + \int 4 dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C_1$

$\int 4x dx = 4\int x dx = 4 \cdot \frac{1}{2}x^2 + C_2 = 2x^2 + C_2$

$\int 4 dx = 4x + C_3$

したがって、

$\int (x^2 + 4x + 4) dx = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x + C$

ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\int (x+2)^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x + C$