与えられた関数 $y = \log(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt{x^3})$ の微分 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \log(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt{x^3})$ の微分 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $x$ の冪の形に書き換えます。

$\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt{x^3} = x^{\frac{3}{2}}$

したがって、

$y = \log(x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{2}})$

次に、対数の微分公式 $\frac{d}{dx}\log(u) = \frac{1}{u}\frac{du}{dx}$ を適用します。ここで、$u = x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{2}})$

$\frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{2}})$ を計算します。

$\frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$

$\frac{d}{dx}(x^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$

したがって、

$\frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{2}}}$

分子と分母に $6x^{\frac{1}{3}}$ をかけると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{4 + 9x^{\frac{5}{6}}}{6x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{2}})} = \frac{4 + 9x^{\frac{5}{6}}}{6(x + x^{\frac{11}{6}})}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{4 + 9x^{\frac{5}{6}}}{6(x + x^{\frac{11}{6}})}$

あるいは、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{2}}}$