与えられた積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

ステップ1: 分母の有理化

被積分関数の分母に $\sqrt{x} - \sqrt{x+1}$ を掛けて分母を有理化します。

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\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{(\sqrt{x} + \sqrt{x+1})(\sqrt{x} - \sqrt{x+1})} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{x - (x+1)} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{-1} = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}

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ステップ2: 積分を計算

積分を計算します。

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\int_{0}^{1} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) dx = \int_{0}^{1} ((x+1)^{1/2} - x^{1/2}) dx

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= \left[ \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} - \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{1}

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= \left( \frac{2}{3}(1+1)^{3/2} - \frac{2}{3}(1)^{3/2} \right) - \left( \frac{2}{3}(0+1)^{3/2} - \frac{2}{3}(0)^{3/2} \right)

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= \left( \frac{2}{3}(2)^{3/2} - \frac{2}{3} \right) - \left( \frac{2}{3} \right)

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= \frac{2}{3}(2\sqrt{2}) - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4\sqrt{2} - 4}{3} = \frac{4(\sqrt{2}-1)}{3}

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3. 最終的な答え

$\frac{4(\sqrt{2}-1)}{3}$