次の二つの式を証明せよ。 (i) $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ (ii) $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

1. 問題の内容

次の二つの式を証明せよ。

(i) $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

(ii) $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

2. 解き方の手順

(i) 積の微分公式の証明

$h(x) = f(x)g(x)$ とおく。微分係数の定義より、

$h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) - f(x)g(x)}{\Delta x}$

ここで、$f(x + \Delta x)g(x) - f(x + \Delta x)g(x)$ を加える。

$h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) - f(x + \Delta x)g(x) + f(x + \Delta x)g(x) - f(x)g(x)}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)(g(x + \Delta x) - g(x)) + (f(x + \Delta x) - f(x))g(x)}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} f(x + \Delta x) \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} g(x)$

$= f(x)g'(x) + f'(x)g(x)$

よって、$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ が成り立つ。

(ii) 商の微分公式の証明

$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ とおく。

$f(x) = g(x)h(x)$ である。両辺を微分すると、

$f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$

$g(x)h'(x) = f'(x) - g'(x)h(x)$

$h'(x) = \frac{f'(x) - g'(x)h(x)}{g(x)}$

$h'(x) = \frac{f'(x) - g'(x)\frac{f(x)}{g(x)}}{g(x)}$

$h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g(x)^2}$

よって、 $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(i) $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

(ii) $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$