次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} \cdot \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{x - (x+1)} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{-1} = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) dx$

これを積分します。

$\int_{0}^{1} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) dx = \int_{0}^{1} ((x+1)^{1/2} - x^{1/2}) dx$

$\int (x+1)^{1/2} dx = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$

$\int x^{1/2} dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

したがって、

$\int_{0}^{1} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) dx = [\frac{2}{3}(x+1)^{3/2} - \frac{2}{3}x^{3/2}]_{0}^{1}$

$= (\frac{2}{3}(1+1)^{3/2} - \frac{2}{3}(1)^{3/2}) - (\frac{2}{3}(0+1)^{3/2} - \frac{2}{3}(0)^{3/2})$

$= (\frac{2}{3}(2)^{3/2} - \frac{2}{3}) - (\frac{2}{3} - 0)$

$= \frac{2}{3}(2\sqrt{2}) - \frac{2}{3} - \frac{2}{3}$

$= \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3}$

$= \frac{4\sqrt{2} - 4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4\sqrt{2} - 4}{3}$