(1) $\lim_{x \to \infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$ を求める。 (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to \infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$ を求める。

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、対数の性質を用いて式を整理する。

$\log(x-2) - \log x = \log \frac{x-2}{x} = \log (1 - \frac{2}{x})$.

したがって、

$\lim_{x \to \infty} x\{\log(x-2) - \log x\} = \lim_{x \to \infty} x \log (1 - \frac{2}{x})$.

ここで、$t = -\frac{2}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ であり、$x = -\frac{2}{t}$となる。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} x \log (1 - \frac{2}{x}) = \lim_{t \to 0} -\frac{2}{t} \log(1 + t) = -2 \lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t}$.

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = 1$ であるから、

$\lim_{x \to \infty} x\{\log(x-2) - \log x\} = -2$.

(2)

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$ を求める。

まず、$1 - \cos x$ を半角の公式で変形する。

$1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$.

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{2 \sin^2(\frac{x}{2})}$.

$e^{2x} - 1$ を $2x$ で近似すると、$e^{2x} - 1 \approx 2x$.

また、$\sin(\frac{x}{2})$ を $\frac{x}{2}$ で近似すると、$\sin(\frac{x}{2}) \approx \frac{x}{2}$.

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{2 \sin^2(\frac{x}{2})} = \lim_{x \to 0} \frac{x(2x)}{2 (\frac{x}{2})^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{2 \frac{x^2}{4}} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} 4 = 4$.

より厳密には、ロピタルの定理を使うことができる。

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形であるから、ロピタルの定理を用いる。

$\frac{d}{dx} x(e^{2x} - 1) = (e^{2x} - 1) + x(2e^{2x}) = e^{2x} - 1 + 2xe^{2x}$.

$\frac{d}{dx} (1 - \cos x) = \sin x$.

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 + 2xe^{2x}}{\sin x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形であるから、再度ロピタルの定理を用いる。

$\frac{d}{dx} (e^{2x} - 1 + 2xe^{2x}) = 2e^{2x} + 2e^{2x} + 4xe^{2x} = 4e^{2x} + 4xe^{2x}$.

$\frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x$.

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \frac{4e^{0} + 4(0)e^{0}}{\cos 0} = \frac{4}{1} = 4$.

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 4