与えられた二つの極限を計算します。 (1) $\lim_{x \to \infty} x \{\log(x-2) - \log x\}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

1. 問題の内容

与えられた二つの極限を計算します。

(1) $\lim_{x \to \infty} x \{\log(x-2) - \log x\}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、対数の性質を用いて式を簡略化します。

$\log(x-2) - \log x = \log(\frac{x-2}{x}) = \log(1 - \frac{2}{x})$

次に、極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} x \log(1 - \frac{2}{x})$

ここで、$t = -\frac{x}{2}$ と置くと、$x = -2t$ であり、$x \to \infty$ のとき $t \to -\infty$ となります。したがって、

$\lim_{t \to -\infty} -2t \log(1 + \frac{1}{t}) = -2 \lim_{t \to -\infty} t \log(1 + \frac{1}{t})$

$\lim_{t \to -\infty} \log(1 + \frac{1}{t})^t$を考えます。

$\lim_{t \to -\infty} (1 + \frac{1}{t})^t = e$であるから、

$\lim_{t \to -\infty} \log(1 + \frac{1}{t})^t = \log e = 1$。

したがって、

$-2 \lim_{t \to -\infty} t \log(1 + \frac{1}{t}) = -2 \cdot 1 = -2$

(2)

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

$e^{2x} - 1 \approx 2x$ （$x \to 0$のとき）

$1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$ （$x \to 0$のとき）

であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{x(2x)}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 4