与えられた2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to\infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$ (2) $\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to\infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、対数の性質を使って式を整理します。

$\log(x-2) - \log x = \log\left(\frac{x-2}{x}\right) = \log\left(1 - \frac{2}{x}\right)$

よって、

$\lim_{x\to\infty} x \log\left(1 - \frac{2}{x}\right)$

ここで、$t = -x/2$と置換すると、$x = -2t$となり、$x \to \infty$のとき$t \to -\infty$

$\lim_{t\to -\infty} -2t \log\left(1 + \frac{1}{t}\right) = -2 \lim_{t\to -\infty} t \log\left(1 + \frac{1}{t}\right)$

$\lim_{t\to -\infty} t \log\left(1 + \frac{1}{t}\right) = \lim_{t\to -\infty} \frac{\log\left(1 + \frac{1}{t}\right)}{1/t}$

ここで、$u = 1/t$と置換すると、$t \to -\infty$のとき$u \to 0$

$\lim_{u\to 0} \frac{\log(1+u)}{u}$

これは有名な極限で、値は1です。

よって、

$-2 \lim_{u\to 0} \frac{\log(1+u)}{u} = -2 \times 1 = -2$

(2)

$\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

ここで、$e^{2x} - 1 \approx 2x$ ($x \to 0$) と $1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$ ($x \to 0$) を使います。

$\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{x(2x)}{x^2/2} = \lim_{x\to 0} \frac{2x^2}{x^2/2} = \lim_{x\to 0} \frac{2}{1/2} = 4$

より厳密には、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-1 + 2xe^{2x}}{\sin x}$

さらにロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x\to 0} \frac{2e^{2x} + 2e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{4e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \frac{4(1) + 4(0)(1)}{1} = 4$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 4