与えられた二つの極限値を求めます。 (1) $\lim_{x\to\infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$ (2) $\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

1. 問題の内容

与えられた二つの極限値を求めます。

(1) $\lim_{x\to\infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

2. 解き方の手順

(1)

$\log(x-2) - \log x = \log(\frac{x-2}{x}) = \log(1 - \frac{2}{x})$

ここで、$y = \frac{1}{x}$ と置くと、$x \to \infty$ のとき $y \to 0$ なので、

$\lim_{x\to\infty} x\{\log(x-2) - \log x\} = \lim_{y\to 0} \frac{\log(1 - 2y)}{y}$

$\log(1+x)$ のマクローリン展開を考えると、$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...$

したがって、$\lim_{y\to 0} \frac{\log(1 - 2y)}{y} = \lim_{y\to 0} \frac{-2y - \frac{(2y)^2}{2} - ...}{y} = \lim_{y\to 0} (-2 - 2y - ...) = -2$

または、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{y\to 0} \frac{\log(1 - 2y)}{y} = \lim_{y\to 0} \frac{\frac{-2}{1-2y}}{1} = \frac{-2}{1} = -2$

(2)

$\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + ...$ より、$e^{2x} - 1 = 2x + 2x^2 + ...$

$1 - \cos x = 1 - (1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + ...$

$\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{x(2x + 2x^2 + ...)}{\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + ...} = \lim_{x\to 0} \frac{2x^2 + 2x^3 + ...}{\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + ...} = \lim_{x\to 0} \frac{2 + 2x + ...}{\frac{1}{2} - \frac{x^2}{24} + ...} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$

または、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{e^{2x} - 1 + 2xe^{2x}}{\sin x}$ （不定形）

$= \lim_{x\to 0} \frac{2e^{2x} + 2e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{4e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \frac{4}{1} = 4$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 4