定積分 $\int_{1}^{2} (x - \frac{1}{x})^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} (x - \frac{1}{x})^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分対象の関数を展開します。

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2(x)(\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{2} (x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}) dx$

次に、各項を個別に積分します。

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$

$\int -2 dx = -2x + C$

$\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

したがって、不定積分は次のようになります。

$\int (x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}) dx = \frac{x^3}{3} - 2x - \frac{1}{x} + C$

次に、定積分を計算するために、積分の上限と下限を代入して差を求めます。

$[\frac{x^3}{3} - 2x - \frac{1}{x}]_{1}^{2} = (\frac{2^3}{3} - 2(2) - \frac{1}{2}) - (\frac{1^3}{3} - 2(1) - \frac{1}{1})$

$= (\frac{8}{3} - 4 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{3} - 2 - 1)$

$= (\frac{16 - 24 - 3}{6}) - (\frac{1 - 6 - 3}{3})$

$= (\frac{-11}{6}) - (\frac{-8}{3})$

$= \frac{-11}{6} + \frac{16}{6}$

$= \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{6}$