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次の定積分の値を求めます。 a) $\int_{1}^{2} (x - \frac{1}{x})^2 dx$ b) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$ c) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$ d) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} dx$ e) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx$ f) $\int_{0}^{1} e^{3x} dx$

解析学定積分積分計算関数の積分
2025/6/24
はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の定積分の値を求めます。
a) ∫12(x−1x)2dx\int_{1}^{2} (x - \frac{1}{x})^2 dx
b) ∫0π2cos⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx
c) ∫1e1xdx\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx
d) ∫011x+x+1dx\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} dx
e) ∫0π2sin⁡2xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx
f) ∫01e3xdx\int_{0}^{1} e^{3x} dx

2. 解き方の手順

a) ∫12(x−1x)2dx\int_{1}^{2} (x - \frac{1}{x})^2 dx
まず、積分の中身を展開します。
(x−1x)2=x2−2+1x2(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}
よって、積分は
∫12(x2−2+1x2)dx=[x33−2x−1x]12=(83−4−12)−(13−2−1)=73−1−12+3=14−6−3+186=236\int_{1}^{2} (x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}) dx = [\frac{x^3}{3} - 2x - \frac{1}{x}]_1^2 = (\frac{8}{3} - 4 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{3} - 2 - 1) = \frac{7}{3} - 1 - \frac{1}{2} + 3 = \frac{14 - 6 - 3 + 18}{6} = \frac{23}{6}
b) ∫0π2cos⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx
∫cos⁡xdx=sin⁡x\int \cos x dx = \sin xなので、
∫0π2cos⁡xdx=[sin⁡x]0π2=sin⁡(π2)−sin⁡(0)=1−0=1\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1
c) ∫1e1xdx\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx
∫1xdx=ln⁡∣x∣\int \frac{1}{x} dx = \ln |x|なので、
∫1e1xdx=[ln⁡x]1e=ln⁡e−ln⁡1=1−0=1\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\ln x]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1
d) ∫011x+x+1dx\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} dx
分母を有理化します。
1x+x+1=x−x+1x−(x+1)=x−x+1−1=x+1−x\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{x - (x+1)} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{-1} = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}
∫01(x+1−x)dx=[23(x+1)3/2−23x3/2]01=(23(2)3/2−23)−(23−0)=23(22−1)−23=42−43\int_{0}^{1} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) dx = [\frac{2}{3} (x+1)^{3/2} - \frac{2}{3} x^{3/2}]_0^1 = (\frac{2}{3} (2)^{3/2} - \frac{2}{3}) - (\frac{2}{3} - 0) = \frac{2}{3} (2\sqrt{2} - 1) - \frac{2}{3} = \frac{4\sqrt{2} - 4}{3}
e) ∫0π2sin⁡2xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx
∫sin⁡2xdx=−12cos⁡2x\int \sin 2x dx = -\frac{1}{2} \cos 2xなので、
∫0π2sin⁡2xdx=[−12cos⁡2x]0π2=−12cos⁡(π)−(−12cos⁡(0))=−12(−1)+12(1)=12+12=1\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx = [-\frac{1}{2} \cos 2x]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2} \cos(\pi) - (-\frac{1}{2} \cos(0)) = -\frac{1}{2} (-1) + \frac{1}{2} (1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
f) ∫01e3xdx\int_{0}^{1} e^{3x} dx
∫e3xdx=13e3x\int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x}なので、
∫01e3xdx=[13e3x]01=13e3−13e0=13(e3−1)\int_{0}^{1} e^{3x} dx = [\frac{1}{3} e^{3x}]_0^1 = \frac{1}{3} e^3 - \frac{1}{3} e^0 = \frac{1}{3} (e^3 - 1)

3. 最終的な答え

a) 236\frac{23}{6}
b) 1
c) 1
d) 42−43\frac{4\sqrt{2}-4}{3}
e) 1
f) e3−13\frac{e^3-1}{3}

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