定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sin(2x)$ の不定積分を求めます。

$\sin(ax)$ の不定積分は $-\frac{1}{a}\cos(ax) + C$ であることを利用します。

したがって、$\sin(2x)$ の不定積分は $-\frac{1}{2}\cos(2x) + C$ となります。

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) dx = \left[-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

積分の上端と下端の値を代入して計算します。

$\left[-\frac{1}{2}\cos(2(\frac{\pi}{2}))\right] - \left[-\frac{1}{2}\cos(2(0))\right] = \left[-\frac{1}{2}\cos(\pi)\right] - \left[-\frac{1}{2}\cos(0)\right]$

$\cos(\pi) = -1$ および $\cos(0) = 1$ であることを利用します。

$-\frac{1}{2}(-1) - (-\frac{1}{2}(1)) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) dx = 1$