与えられた二つの極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to \infty} x \{\log(x-2) - \log x \}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x}$

1. 問題の内容

与えられた二つの極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to \infty} x \{\log(x-2) - \log x \}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、対数の性質を利用して式を整理します。

$\log(x-2) - \log x = \log(\frac{x-2}{x}) = \log(1 - \frac{2}{x})$

よって、求める極限は

$\lim_{x \to \infty} x \log(1 - \frac{2}{x})$

ここで、$t = -\frac{2}{x}$とおくと、$x \to \infty$のとき$t \to 0$であり、$x = -\frac{2}{t}$となります。

$\lim_{x \to \infty} x \log(1 - \frac{2}{x}) = \lim_{t \to 0} -\frac{2}{t} \log(1 + t) = -2 \lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = 1$であるから、

$\lim_{x \to \infty} x \{\log(x-2) - \log x \} = -2$

(2)

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x}$

$x \to 0$のとき、$e^{2x} - 1 \approx 2x$、$1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$となることを利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(2x)}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} 4 = 4$

あるいは、ロピタルの定理を用います。

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 + 2xe^{2x}}{\sin x}$

さらにロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} + 2e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \frac{4e^0 + 0}{\cos 0} = \frac{4}{1} = 4$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 4