$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - 1}{x^2}$ をマクローリン展開を用いて求める。

## 問題 1 (a) の回答

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - 1}{x^2}$ をマクローリン展開を用いて求める。

2. 解き方の手順

$\cos x$ のマクローリン展開は、

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...$

である。

したがって、$\cos 2x$ のマクローリン展開は、

$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - ... = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - ...$

となる。

よって、

$\cos 2x - 1 = -2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - ...$

したがって、

$\frac{\cos 2x - 1}{x^2} = -2 + \frac{2}{3}x^2 - ...$

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} (-2 + \frac{2}{3}x^2 - ...) = -2$

3. 最終的な答え

-2

## 問題 1 (b) の回答

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ をマクローリン展開を用いて求める。

2. 解き方の手順

$e^x$ のマクローリン展開は、

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$

である。

したがって、

$e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + ...$

$\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{6} + ...$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{2} + \frac{x}{6} + ...) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

1/2

## 問題 1 (c) の回答

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x) - x + \frac{x^2}{2}}{x^3}$ をマクローリン展開を用いて求める。

2. 解き方の手順

$\log(1+x)$ のマクローリン展開は、

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...$

である。

したがって、

$\log(1+x) - x + \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...$

$\frac{\log(1+x) - x + \frac{x^2}{2}}{x^3} = \frac{1}{3} - \frac{x}{4} + ...$

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x) - x + \frac{x^2}{2}}{x^3} = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{3} - \frac{x}{4} + ...) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

1/3

## 問題 2 の回答

1. 問題の内容

$\int_0^1 x^2 dx$ を求める。

2. 解き方の手順

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$

$\int_0^1 x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

1/3

## 問題 3 (a) の回答

1. 問題の内容

$\int_1^2 (x - \frac{1}{x})^2 dx$ を求める。

2. 解き方の手順

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

$\int (x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}) dx = \frac{x^3}{3} - 2x - \frac{1}{x} + C$

$\int_1^2 (x - \frac{1}{x})^2 dx = [\frac{x^3}{3} - 2x - \frac{1}{x}]_1^2 = (\frac{8}{3} - 4 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{3} - 2 - 1) = \frac{7}{3} - 2 - \frac{1}{2} = \frac{14 - 12 - 3}{6} = -\frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

-1/6

## 問題 3 (b) の回答

1. 問題の内容

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$ を求める。

2. 解き方の手順

$\int \cos x dx = \sin x + C$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$

3. 最終的な答え

1

## 問題 3 (c) の回答

1. 問題の内容

$\int_1^e \frac{1}{x} dx$ を求める。

2. 解き方の手順

$\int \frac{1}{x} dx = \log |x| + C$

$\int_1^e \frac{1}{x} dx = [\log |x|]_1^e = \log e - \log 1 = 1 - 0 = 1$

3. 最終的な答え

1

## 問題 3 (d) の回答

1. 問題の内容

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} dx$ を求める。

2. 解き方の手順

被積分関数を有理化する。

$\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{(\sqrt{x} + \sqrt{x+1})(\sqrt{x} - \sqrt{x+1})} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{x - (x+1)} = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}$

$\int (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) dx = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} - \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

$\int_0^1 (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) dx = [\frac{2}{3}(x+1)^{3/2} - \frac{2}{3}x^{3/2}]_0^1 = (\frac{2}{3}(2)^{3/2} - \frac{2}{3}(1)^{3/2}) - (\frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{2}{3}(0)^{3/2}) = \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1) - \frac{2}{3} = \frac{4\sqrt{2} - 4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4\sqrt{2}-4}{3}$

## 問題 3 (e) の回答

1. 問題の内容

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx$ を求める。

2. 解き方の手順

$\int \sin 2x dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx = [-\frac{1}{2} \cos 2x]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2} \cos \pi - (-\frac{1}{2} \cos 0) = -\frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

3. 最終的な答え

1

## 問題 3 (f) の回答

1. 問題の内容

$\int_0^1 e^{3x} dx$ を求める。

2. 解き方の手順

$\int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C$

$\int_0^1 e^{3x} dx = [\frac{1}{3} e^{3x}]_0^1 = \frac{1}{3} e^3 - \frac{1}{3} e^0 = \frac{1}{3} e^3 - \frac{1}{3} = \frac{e^3 - 1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^3 - 1}{3}$