関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} \frac{1+3x - a\cos 2x}{4x} & (x > 0) \\ bx + c & (x \leq 0) \end{cases}$ $f(x)$ が $x=0$ で微分可能であるとき、実数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} \frac{1+3x - a\cos 2x}{4x} & (x > 0) \\ bx + c & (x \leq 0) \end{cases}$

$f(x)$ が $x=0$ で微分可能であるとき、実数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ が $x=0$ で微分可能であるためには、$x=0$ で連続でなければなりません。

したがって、$\lim_{x \to +0} f(x) = \lim_{x \to -0} f(x) = f(0)$ が成り立ちます。

$\lim_{x \to -0} f(x) = \lim_{x \to -0} (bx + c) = c$

$f(0) = b(0) + c = c$

$\lim_{x \to +0} f(x) = \lim_{x \to +0} \frac{1 + 3x - a\cos 2x}{4x}$

$x \to +0$ で、分子が $1 - a$ に近づくので、これが 0 でなければ極限が存在しません。したがって、$a = 1$ でなければなりません。

$a=1$ のとき、

$\lim_{x \to +0} \frac{1 + 3x - \cos 2x}{4x}$ となります。

ここで、$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \cdots = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \cdots$ なので、

$\lim_{x \to +0} \frac{1 + 3x - (1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \cdots)}{4x} = \lim_{x \to +0} \frac{3x + 2x^2 - \frac{2}{3}x^4 + \cdots}{4x} = \lim_{x \to +0} \frac{3 + 2x - \frac{2}{3}x^3 + \cdots}{4} = \frac{3}{4}$

したがって、$c = \frac{3}{4}$ となります。

次に、$x=0$ で微分可能であるためには、$f'(+0) = f'(-0)$ が成り立ちます。

$f'(x) = \begin{cases} \frac{4x(3 + 2\sin 2x) - 4(1 + 3x - \cos 2x)}{16x^2} & (x > 0) \\ b & (x \leq 0) \end{cases}$

$f'(+0) = \lim_{x \to +0} \frac{4x(3 + 2\sin 2x) - 4(1 + 3x - \cos 2x)}{16x^2} = \lim_{x \to +0} \frac{12x + 8x\sin 2x - 4 - 12x + 4\cos 2x}{16x^2} = \lim_{x \to +0} \frac{8x\sin 2x + 4\cos 2x - 4}{16x^2}$

ここで、$\sin 2x = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \cdots = 2x - \frac{4}{3}x^3 + \cdots$

$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \cdots = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \cdots$

したがって、

$\lim_{x \to +0} \frac{8x(2x - \frac{4}{3}x^3 + \cdots) + 4(1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \cdots) - 4}{16x^2} = \lim_{x \to +0} \frac{16x^2 - \frac{32}{3}x^4 + 4 - 8x^2 + \frac{8}{3}x^4 - 4}{16x^2} = \lim_{x \to +0} \frac{8x^2 - \frac{24}{3}x^4}{16x^2} = \lim_{x \to +0} \frac{8x^2 - 8x^4}{16x^2} = \lim_{x \to +0} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x^2) = \frac{1}{2}$

$f'(-0) = b$

したがって、$b = \frac{1}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = \frac{1}{2}$, $c = \frac{3}{4}$