(1) $\lim_{x\to\infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$ を求める。 (2) $\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x\to\infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$ を求める。

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、対数の性質を用いて式を簡単にする。

$\log(x-2) - \log x = \log\left(\frac{x-2}{x}\right) = \log\left(1 - \frac{2}{x}\right)$

よって、求める極限は

$\lim_{x\to\infty} x\log\left(1 - \frac{2}{x}\right)$

ここで、$t = -\frac{2}{x}$ とおくと、$x = -\frac{2}{t}$ であり、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となる。したがって、

$\lim_{x\to\infty} x\log\left(1 - \frac{2}{x}\right) = \lim_{t\to 0} -\frac{2}{t} \log(1+t) = -2 \lim_{t\to 0} \frac{\log(1+t)}{t}$

$\lim_{t\to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = 1$ であるから、

$\lim_{x\to\infty} x\log\left(1 - \frac{2}{x}\right) = -2 \cdot 1 = -2$

(2)

$\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$ を求める。

$x \to 0$ のとき、$e^{2x} - 1 \sim 2x$ および $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ であることを用いると、

$\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{x(2x)}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{2x^2}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x\to 0} 4 = 4$

または、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x\to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{xe^{2x} - x}{1 - \cos x}$

分子と分母を微分すると、

$\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x} + 2xe^{2x} - 1}{\sin x}$

再び分子と分母を微分すると、

$\lim_{x\to 0} \frac{2e^{2x} + 2e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{4e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \frac{4 \cdot 1 + 4 \cdot 0 \cdot 1}{1} = 4$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 4