与えられた2つの極限を計算します。 (1) $\lim_{x \to \infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限を計算します。

(1) $\lim_{x \to \infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x}$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x \to \infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$ を計算します。

まず、対数の性質を使って式を整理します。

$\log(x-2) - \log x = \log(\frac{x-2}{x}) = \log(1 - \frac{2}{x})$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} x \log(1 - \frac{2}{x})$

ここで、$t = -\frac{2}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ であり、$x = -\frac{2}{t}$ となります。

$\lim_{t \to 0} -\frac{2}{t} \log(1+t) = -2 \lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = 1$ であるから、

$-2 \lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = -2 \cdot 1 = -2$

(2)

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x}$ を計算します。

$e^{2x}-1 \approx 2x$ (for small $x$), and $1-\cos x \approx \frac{x^2}{2}$ (for small $x$).

Therefore, we have

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(2x)}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$

または、ロピタルの定理を適用する。

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x}-1)}{1-\cos x}$ の形は $\frac{0}{0}$ なので、ロピタルの定理を適用できる。

$\frac{d}{dx} [x(e^{2x}-1)] = (e^{2x}-1) + x(2e^{2x}) = e^{2x} - 1 + 2xe^{2x}$

$\frac{d}{dx} [1-\cos x] = \sin x$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1 + 2xe^{2x}}{\sin x}$ も $\frac{0}{0}$ の形なので、再度ロピタルの定理を適用する。

$\frac{d}{dx} [e^{2x}-1 + 2xe^{2x}] = 2e^{2x} + 2e^{2x} + 4xe^{2x} = 4e^{2x} + 4xe^{2x}$

$\frac{d}{dx} [\sin x] = \cos x$

$\lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \frac{4e^{0} + 4(0)e^{0}}{\cos 0} = \frac{4(1) + 0}{1} = 4$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 4