与えられた二つの極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

1. 問題の内容

与えられた二つの極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、対数の性質を使って式を整理します。

$\log(x-2) - \log x = \log\left(\frac{x-2}{x}\right) = \log\left(1 - \frac{2}{x}\right)$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} x \log\left(1 - \frac{2}{x}\right)$

ここで、$t = -\frac{2}{x}$ と置くと、$x = -\frac{2}{t}$ であり、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{t \to 0} -\frac{2}{t} \log(1 + t) = -2 \lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = 1$ であるから、

$-2 \lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = -2(1) = -2$

(2)

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

$e^{2x}$ のマクローリン展開を考えると、$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + O(x^3)$ です。したがって、$e^{2x} - 1 = 2x + 2x^2 + O(x^3)$。

また、$1 - \cos x = \frac{x^2}{2} + O(x^4)$ です。

$\lim_{x \to 0} \frac{x(2x + 2x^2 + O(x^3))}{\frac{x^2}{2} + O(x^4)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + 2x^3 + O(x^4)}{\frac{x^2}{2} + O(x^4)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 + 2x + O(x^2)}{\frac{1}{2} + O(x^2)} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$

または、ロピタルの定理を使うこともできます。

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\frac{d}{dx} (x(e^{2x} - 1)) = e^{2x} - 1 + 2xe^{2x}$

$\frac{d}{dx} (1 - \cos x) = \sin x$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 + 2xe^{2x}}{\sin x}$ も $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\frac{d}{dx} (e^{2x} - 1 + 2xe^{2x}) = 2e^{2x} + 2e^{2x} + 4xe^{2x} = 4e^{2x} + 4xe^{2x}$

$\frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x$

$\lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \frac{4e^{0} + 4(0)e^{0}}{\cos 0} = \frac{4}{1} = 4$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 4