$-\pi \leq \theta < \pi$ の範囲で、以下の(1)の方程式と(2)の不等式を解く問題です。 (1) $2\cos^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1 = 0$ (2) $\sqrt{3}\tan^2\theta + 4\tan\theta + \sqrt{3} < 0$

1. 問題の内容

$-\pi \leq \theta < \pi$ の範囲で、以下の(1)の方程式と(2)の不等式を解く問題です。

(1) $2\cos^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1 = 0$

(2) $\sqrt{3}\tan^2\theta + 4\tan\theta + \sqrt{3} < 0$

2. 解き方の手順

(1) $2\cos^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1 = 0$

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いて $\cos^2\theta$ を $\sin\theta$ で表すと、

$2(1 - \sin^2\theta) + \sqrt{3}\sin\theta + 1 = 0$

$2 - 2\sin^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1 = 0$

$-2\sin^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 3 = 0$

$2\sin^2\theta - \sqrt{3}\sin\theta - 3 = 0$

$\sin\theta = x$ とおくと、

$2x^2 - \sqrt{3}x - 3 = 0$

$(2x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) = 0$

$x = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}$

$\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}$

$-\pi \leq \theta < \pi$ より、$\sin\theta = \sqrt{3}$ は解なし。

$\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = -\frac{\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}$

(2) $\sqrt{3}\tan^2\theta + 4\tan\theta + \sqrt{3} < 0$

$\tan\theta = t$ とおくと、

$\sqrt{3}t^2 + 4t + \sqrt{3} < 0$

$(\sqrt{3}t + 1)(t + \sqrt{3}) < 0$

$-\sqrt{3} < t < -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$-\sqrt{3} < \tan\theta < -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan\theta = -\sqrt{3}$ となる $\theta$ は $-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

$\tan\theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $\theta$ は $-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ で考えると、$-\frac{\pi}{3} < \theta < -\frac{\pi}{6}$

$\tan\theta$ の周期は $\pi$ なので、

$-\pi < \theta < -\frac{\pi}{2}$ では、$-\pi < \theta < -\frac{\pi}{2}$ には $\tan\theta$ は存在しない。

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ では、$\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = -\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}$

(2) $-\frac{\pi}{3} < \theta < -\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{6}$