0 ≤ θ < 2π の範囲で、次の方程式と不等式を解く問題です。 (8) $cos2θ + cosθ = 0$ (9) $cos2θ + \sqrt{3}sinθ - 1 > 0$

1. 問題の内容

0 ≤ θ < 2π の範囲で、次の方程式と不等式を解く問題です。

(8) $cos2θ + cosθ = 0$

(9) $cos2θ + \sqrt{3}sinθ - 1 > 0$

2. 解き方の手順

(8) $cos2θ + cosθ = 0$

2倍角の公式より、$cos2θ = 2cos^2θ - 1$なので、

$2cos^2θ - 1 + cosθ = 0$

$2cos^2θ + cosθ - 1 = 0$

$(2cosθ - 1)(cosθ + 1) = 0$

したがって、$cosθ = \frac{1}{2}$ または $cosθ = -1$

$cosθ = \frac{1}{2}$のとき、$θ = \frac{π}{3}, \frac{5π}{3}$

$cosθ = -1$のとき、$θ = π$

(9) $cos2θ + \sqrt{3}sinθ - 1 > 0$

2倍角の公式より、$cos2θ = 1 - 2sin^2θ$なので、

$1 - 2sin^2θ + \sqrt{3}sinθ - 1 > 0$

$-2sin^2θ + \sqrt{3}sinθ > 0$

$2sin^2θ - \sqrt{3}sinθ < 0$

$sinθ(2sinθ - \sqrt{3}) < 0$

$0 < sinθ < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 < θ < π$ において、

$0 < sinθ < \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、

$0 < θ < \frac{π}{3}$ または $\frac{2π}{3} < θ < π$

θの範囲は$0 \le θ < 2π$ なので、

$0 < θ < \frac{π}{3}$ または $\frac{2π}{3} < θ < π$

3. 最終的な答え

(8) $θ = \frac{π}{3}, π, \frac{5π}{3}$

(9) $0 < θ < \frac{π}{3}, \frac{2π}{3} < θ < π$