底面の半径が $r$, 高さが $h$ の円錐の体積 $V$ が、 $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ で与えられることを示す。

1. 問題の内容

底面の半径が $r$, 高さが $h$ の円錐の体積 $V$ が、

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

で与えられることを示す。

2. 解き方の手順

円錐の体積を求めるには、積分を使用します。円錐を底面に平行な薄い円盤に分割し、それぞれの円盤の体積を足し合わせることで全体の体積を求めます。

まず、円錐を $z$ 軸に沿って配置し、頂点を原点 $(0, 0, 0)$ に、底面を $z=h$ の平面に置きます。高さ $z$ における円盤の半径を $r(z)$ とします。相似な三角形の性質より、$r(z)/z = r/h$ が成り立つので、

$r(z) = \frac{r}{h}z$

となります。

高さ $z$ における円盤の面積 $A(z)$ は、

$A(z) = \pi [r(z)]^2 = \pi (\frac{r}{h}z)^2 = \frac{\pi r^2}{h^2} z^2$

となります。

円盤の厚さを $dz$ とすると、高さ $z$ における円盤の体積 $dV$ は、

$dV = A(z) dz = \frac{\pi r^2}{h^2} z^2 dz$

となります。

円錐の体積 $V$ は、0から $h$ まで $dV$ を積分することで求められます。

$V = \int_0^h dV = \int_0^h \frac{\pi r^2}{h^2} z^2 dz = \frac{\pi r^2}{h^2} \int_0^h z^2 dz$

$\int_0^h z^2 dz = \left[ \frac{1}{3} z^3 \right]_0^h = \frac{1}{3} h^3$

したがって、

$V = \frac{\pi r^2}{h^2} \cdot \frac{1}{3} h^3 = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

3. 最終的な答え

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$