与えられた関数の極値を、2次導関数を利用して求める問題です。問題は2つあり、 (1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$ (2) $f(x) = \sqrt{3}x + 2\cos{x}$ (ただし、$0 < x < \pi$) です。

1. 問題の内容

与えられた関数の極値を、2次導関数を利用して求める問題です。問題は2つあり、

(1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$

(2) $f(x) = \sqrt{3}x + 2\cos{x}$ (ただし、$0 < x < \pi$)

です。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$ の場合:

まず、1次導関数$f'(x)$を求めます。

$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x^2 - x - 2) = 12x(x-2)(x+1)$

次に、$f'(x) = 0$となる$x$を求めます。

$12x(x-2)(x+1) = 0$より、$x = -1, 0, 2$

次に、2次導関数$f''(x)$を求めます。

$f''(x) = 36x^2 - 24x - 24 = 12(3x^2 - 2x - 2)$

それぞれの$x$に対して、$f''(x)$の符号を調べます。

$f''(-1) = 12(3 + 2 - 2) = 36 > 0$ より、$x = -1$ で極小値を取ります。

$f''(0) = 12(-2) = -24 < 0$ より、$x = 0$ で極大値を取ります。

$f''(2) = 12(12 - 4 - 2) = 12(6) = 72 > 0$ より、$x = 2$ で極小値を取ります。

それぞれの極値を計算します。

$f(-1) = 3 + 4 - 12 = -5$

$f(0) = 0$

$f(2) = 3(16) - 4(8) - 12(4) = 48 - 32 - 48 = -32$

(2) $f(x) = \sqrt{3}x + 2\cos{x}$ ($0 < x < \pi$)の場合:

まず、1次導関数$f'(x)$を求めます。

$f'(x) = \sqrt{3} - 2\sin{x}$

次に、$f'(x) = 0$となる$x$を求めます。

$\sqrt{3} - 2\sin{x} = 0$ より、$\sin{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 < x < \pi$ の範囲でこれを満たす$x$は、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

次に、2次導関数$f''(x)$を求めます。

$f''(x) = -2\cos{x}$

それぞれの$x$に対して、$f''(x)$の符号を調べます。

$f''(\frac{\pi}{3}) = -2\cos{\frac{\pi}{3}} = -2(\frac{1}{2}) = -1 < 0$ より、$x = \frac{\pi}{3}$ で極大値を取ります。

$f''(\frac{2\pi}{3}) = -2\cos{\frac{2\pi}{3}} = -2(-\frac{1}{2}) = 1 > 0$ より、$x = \frac{2\pi}{3}$ で極小値を取ります。

それぞれの極値を計算します。

$f(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}(\frac{\pi}{3}) + 2\cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}\pi}{3} + 2(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}\pi}{3} + 1$

$f(\frac{2\pi}{3}) = \sqrt{3}(\frac{2\pi}{3}) + 2\cos{\frac{2\pi}{3}} = \frac{2\sqrt{3}\pi}{3} + 2(-\frac{1}{2}) = \frac{2\sqrt{3}\pi}{3} - 1$

3. 最終的な答え

(1)

$x=-1$で極小値$-5$

$x=0$で極大値$0$

$x=2$で極小値$-32$

(2)

$x=\frac{\pi}{3}$で極大値$\frac{\sqrt{3}\pi}{3} + 1$

$x=\frac{2\pi}{3}$で極小値$\frac{2\sqrt{3}\pi}{3} - 1$