媒介変数表示された曲線 $x = 3\cos\theta$, $y = 2\sin\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線 $x = 3\cos\theta$, $y = 2\sin\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

$S = \int y \, dx$ です。置換積分を用いて計算します。

$x = 3\cos\theta$ より、$dx = -3\sin\theta \, d\theta$ です。

$\theta$ が $0$ から $\pi$ に変化するとき、$x$ は $3$ から $-3$ に変化します。積分範囲に注意します。

$S = \int_{3}^{-3} y \, dx = \int_{0}^{\pi} 2\sin\theta (-3\sin\theta) \, d\theta = -6 \int_{0}^{\pi} \sin^2\theta \, d\theta$

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ を用いて積分を計算します。

$S = -6 \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta = -3 \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2\theta) \, d\theta$

$S = -3 \left[ \theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_{0}^{\pi} = -3 \left[ (\pi - \frac{1}{2} \sin 2\pi) - (0 - \frac{1}{2} \sin 0) \right] = -3(\pi - 0 - 0 + 0) = -3\pi$

面積は正の値なので、絶対値を取ります。ただし、$x$が$3$から$-3$に動く時の積分なので、$S=-\int_{-3}^{3} y \, dx$ となります。

$S = - \int_{\pi}^{0} 2\sin\theta (-3\sin\theta) \, d\theta = 6 \int_{\pi}^{0} \sin^2\theta \, d\theta$

$S = 6 \int_{\pi}^{0} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta = 3 \int_{\pi}^{0} (1 - \cos 2\theta) \, d\theta$

$S = 3 \left[ \theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_{\pi}^{0} = 3 \left[ (0 - \frac{1}{2} \sin 0) - (\pi - \frac{1}{2} \sin 2\pi) \right] = 3(0 - 0 - \pi + 0) = -3\pi$

したがって、$S = |-3\pi| = 3\pi$

3. 最終的な答え

$3\pi$