2重積分 $\iint_D x \, dx \, dy$ の値を求めます。積分領域 $D$ は、 $0 \le x^2 + y^2 \le 2y$ を満たす $(x, y)$ の集合です。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_D x \, dx \, dy$ の値を求めます。積分領域 $D$ は、 $0 \le x^2 + y^2 \le 2y$ を満たす $(x, y)$ の集合です。

2. 解き方の手順

(1) 極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、$dx\,dy = r\,dr\,d\theta$ となります。

(2) 積分領域 $D$ を極座標で表します。$x^2 + y^2 \le 2y$ は、 $r^2 \le 2r\sin\theta$ と書き換えられます。$r > 0$ であるから、$r \le 2\sin\theta$ となります。また、$2\sin\theta \ge 0$ である必要があるので、$0 \le \theta \le \pi$となります。

したがって、積分領域 $E$ は、

$E = \{(r, \theta) \mid 0 \le \theta \le \pi, 0 \le r \le 2\sin\theta \}$

となります。

(3) 2重積分を計算します。

\begin{align*}

\iint_D x \, dx \, dy &= \int_0^\pi \int_0^{2\sin\theta} (r\cos\theta) r \, dr \, d\theta \\

&= \int_0^\pi \int_0^{2\sin\theta} r^2\cos\theta \, dr \, d\theta \\

&= \int_0^\pi \left[ \frac{1}{3} r^3 \cos\theta \right]_0^{2\sin\theta} d\theta \\

&= \int_0^\pi \frac{8}{3} \sin^3\theta \cos\theta \, d\theta \\

&= \frac{8}{3} \int_0^\pi \sin^3\theta \cos\theta \, d\theta

\end{align*}

ここで、 $u = \sin\theta$ とおくと、$du = \cos\theta \, d\theta$ となります。積分範囲は、 $\theta=0$ のとき $u=0$, $\theta=\pi$ のとき $u=0$ となります。

\begin{align*}

\frac{8}{3} \int_0^\pi \sin^3\theta \cos\theta \, d\theta &= \frac{8}{3} \int_0^0 u^3 \, du \\

&= \frac{8}{3} \left[ \frac{1}{4} u^4 \right]_0^0 \\

&= \frac{8}{3} (0 - 0) \\

&= 0

\end{align*}

3. 最終的な答え

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