関数 $f(x, y) = 2xy + y^3$ について、$\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = 2xy + y^3$ について、$\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\partial f}{\partial x}$ を求める。$y$ を定数とみなして $x$ で偏微分する。

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\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy + y^3) = 2y

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(2) $\frac{\partial f}{\partial y}$ を求める。$x$ を定数とみなして $y$ で偏微分する。

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\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy + y^3) = 2x + 3y^2

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(3) $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ を求める。$\frac{\partial f}{\partial x} = 2y$ を $x$ で偏微分する。

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\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(2y) = 0

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(4) $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ を求める。$\frac{\partial f}{\partial y} = 2x + 3y^2$ を $y$ で偏微分する。

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\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(2x + 3y^2) = 6y

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(5) $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ を求める。$\frac{\partial f}{\partial y} = 2x + 3y^2$ を $x$ で偏微分する。

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\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(2x + 3y^2) = 2

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(6) $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ を求める。$\frac{\partial f}{\partial x} = 2y$ を $y$ で偏微分する。

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\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(2y) = 2

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3. 最終的な答え

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2y$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2x + 3y^2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 0$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6y$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 2$