次の2つの問題について、曲線とx軸で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積Vを求める。 (1) $y = x^2 - 2x$ (2) $y = \sin x \quad (0 \le x \le \pi)$

1. 問題の内容

次の2つの問題について、曲線とx軸で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積Vを求める。

(1) $y = x^2 - 2x$

(2) $y = \sin x \quad (0 \le x \le \pi)$

2. 解き方の手順

回転体の体積Vは、曲線$y=f(x)$とx軸、$x=a$, $x=b$で囲まれた部分をx軸の周りに回転させたとき、$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$ で求められます。

(1) $y = x^2 - 2x$

まず、$y=x^2-2x$とx軸との交点を求めます。

$x^2 - 2x = 0$

$x(x-2) = 0$

$x = 0, 2$

したがって、積分区間は$0 \le x \le 2$です。

回転体の体積Vは、

$V = \pi \int_0^2 (x^2 - 2x)^2 dx = \pi \int_0^2 (x^4 - 4x^3 + 4x^2) dx$

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{4x^3}{3} \right]_0^2$

$V = \pi \left( \frac{32}{5} - 16 + \frac{32}{3} \right) = \pi \left( \frac{96 - 240 + 160}{15} \right) = \pi \left( \frac{16}{15} \right)$

$V = \frac{16}{15}\pi$

(2) $y = \sin x \quad (0 \le x \le \pi)$

積分区間は $0 \le x \le \pi$です。

回転体の体積Vは、

$V = \pi \int_0^\pi (\sin x)^2 dx = \pi \int_0^\pi \sin^2 x dx$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

$V = \pi \int_0^\pi \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi (1 - \cos 2x) dx$

$V = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_0^\pi$

$V = \frac{\pi}{2} \left( \pi - \frac{1}{2} \sin 2\pi - (0 - \frac{1}{2} \sin 0) \right) = \frac{\pi}{2} (\pi - 0 - 0 + 0)$

$V = \frac{\pi^2}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{16}{15}\pi$

(2) $\frac{\pi^2}{2}$