$\log|y|$ の導関数を利用して、以下の関数を微分せよ。 (1) $y = \frac{(x+1)^3}{(x-1)(x+2)^2}$ (2) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}$

1. 問題の内容

$\log|y|$ の導関数を利用して、以下の関数を微分せよ。

(1) $y = \frac{(x+1)^3}{(x-1)(x+2)^2}$

(2) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{(x+1)^3}{(x-1)(x+2)^2}$

両辺の絶対値を取り、対数をとる。

$\log|y| = \log|\frac{(x+1)^3}{(x-1)(x+2)^2}|$

$\log|y| = \log|(x+1)^3| - \log|(x-1)| - \log|(x+2)^2|$

$\log|y| = 3\log|x+1| - \log|x-1| - 2\log|x+2|$

両辺を $x$ で微分する。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{3}{x+1} - \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x+2}$

$\frac{dy}{dx} = y(\frac{3}{x+1} - \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x+2})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^3}{(x-1)(x+2)^2}(\frac{3}{x+1} - \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x+2})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^3}{(x-1)(x+2)^2}(\frac{3(x-1)(x+2) - (x+1)(x+2)^2 - 2(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)(x+2)})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2(x+2)^3}(3(x^2+x-2)-(x+1)(x^2+4x+4)-2(x^2-1))$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2(x+2)^3}(3x^2+3x-6-(x^3+5x^2+8x+4)-2x^2+2)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2(x+2)^3}(-x^3-4x^2-5x-8)$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{(x+1)^2(x^3+4x^2+5x+8)}{(x-1)^2(x+2)^3}$

(2) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}$

両辺の絶対値を取り、対数をとる。

$\log|y| = \log|\frac{\sqrt{x+2}}{x+1}|$

$\log|y| = \log|\sqrt{x+2}| - \log|x+1|$

$\log|y| = \frac{1}{2}\log|x+2| - \log|x+1|$

両辺を $x$ で微分する。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(x+2)} - \frac{1}{x+1}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)-2(x+2)}{2(x+1)(x+2)}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{x+1-2x-4}{2(x+1)(x+2)}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{-x-3}{2(x+1)(x+2)}$

$\frac{dy}{dx} = y(\frac{-x-3}{2(x+1)(x+2)})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}(\frac{-x-3}{2(x+1)(x+2)})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x-3}{2(x+1)^2\sqrt{x+2}}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x+3}{2(x+1)^2\sqrt{x+2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{(x+1)^2(x^3+4x^2+5x+8)}{(x-1)^2(x+2)^3}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+3}{2(x+1)^2\sqrt{x+2}}$