次の2つの関数の第$n$次導関数を求める問題です。 (1) $y = x^n$ (2) $y = e^{2x}$

1. 問題の内容

次の2つの関数の第$n$次導関数を求める問題です。

(1) $y = x^n$

(2) $y = e^{2x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^n$ の場合：

1階微分: $y' = nx^{n-1}$

2階微分: $y'' = n(n-1)x^{n-2}$

3階微分: $y''' = n(n-1)(n-2)x^{n-3}$

一般に、$k$階微分は以下のようになります。

$y^{(k)} = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)x^{n-k}$

特に、$n$階微分は、

$y^{(n)} = n(n-1)(n-2)...(n-n+1)x^{n-n} = n!x^0 = n!$

$n$より大きい階数の微分は0になります。つまり、$k > n$のとき、$y^{(k)} = 0$

(2) $y = e^{2x}$ の場合：

1階微分: $y' = 2e^{2x}$

2階微分: $y'' = 2^2e^{2x}$

3階微分: $y''' = 2^3e^{2x}$

一般に、$n$階微分は以下のようになります。

$y^{(n)} = 2^ne^{2x}$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^n$ の第$n$次導関数は、

$y^{(n)} = n!$ (ただし、$n$階より大きい階数の微分は0)

(2) $y = e^{2x}$ の第$n$次導関数は、

$y^{(n)} = 2^ne^{2x}$